Ряд Фурье для четных и нечетных функций ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Формулы для коэффициентов Эйлера значительно упрощаются, если f(x) - четная или нечетная функция. Выведем сначала некоторые формулы, необходимые для дальнейших вычислений. а) Пусть j(x) – четная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = j(х). Тогда . Сделав в первом интеграле правой части замену: x = - t Þ dx = - dt; получим: . б) Пусть j(x) – нечетная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = – j(х). Тогда = (замена, как и в первом интеграле) = . Итак, для четных функций , для нечетных функций . (9) Используем эти результаты при вычислении коэффициентов Фурье. а) Для четных функций. Пусть f(x) – четная функция на отрезке [–l, l]. Тогда – тоже четная функция, а – нечетная функция. Значит, используя (9), получим: (10) Таким образом, в разложении четных функций в ряд Фурье "останутся только косинусы": f(–x) = f(x) Þ f(x) = . б) Для нечетных функций. Пусть f(x) – нечетная функция на отрезке [– ; ], тогда – тоже нечетная функция, а – четная функция (как произведение двух нечетных функций). Значит, используя (10), получим: (11) Тогда в разложении нечетной функции в ряд Фурье "останутся только синусы": f(–x) = – f(x) Þ f(x) = . Примеры разложения Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| на отрезке [–p; p]. Решение.
Так как |x| – четная функция, используем формулы (10): bn = 0, , Тогда ряд Фурье примет вид или . График ряда изображен на рис. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой имеет вид: Решение. Так как f(x) – нечетная функция, используем формулы (11): , . Т.о., при четных n получим bn = 0, а для нечетных n будем иметь: . Тогда ряд Фурье примет вид . Отметим еще раз, что равенство функции и полученного ряда выполняется только там, где f(x) непрерывна. В точках разрыва полученный ряд сходится к полусумме односторонних пределов, в данном случае к числу 0.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|