 |
|
Описание и теория метода
Предлагаемый метод определения g основан на применении уравнений адиабатического и изохорического процессов.
Установка состоит из стеклянного баллона А, соединенного с манометром В и насосом (рис.2). Посредством крана Д баллон может быть соединен с атмосферой, и будем считать, что первоначально в нем было атмосферное давление. Если с помощью насоса накачать в баллон некоторое количество воздуха и закрыть кран, то давление в баллоне повысится; но если это повышение было произведено достаточно быстро, то манометрический столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие воздуха было адиабатическим и, следовательно, температура его повысится. Окончательная разность уровней в манометре h установится только тогда, когда температура воздуха внутри баллона сравняется, благодаря теплопроводности стенок, с температурой окружающего воздуха.
Обозначим через Т1 термодинамическую температуру окружающего воздуха и через р1 - давление газа внутри сосуда, соответствующее показанию манометра h1. Очевидно, давление, установившееся в баллоне, будет равно 
(15)
где р0 - атмосферное давление (конечно, при этом р0 и h1 должны быть выражены в одинаковых единицах). Эти два параметра Т1 и р1 характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием газа.
Если теперь быстро открыть кран, то воздух в баллоне будет расширяться адиабатически, пока давление его не сделается равным р0; при этом он охладится до температуры Т2. Это будет второе состояние газа: Т2 и р0.
Если сразу после открывания снова закрыть кран, то давление внутри баллона начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в баллоне станет снова нагреваться. Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха в баллоне сравняется с внешней температурой Т1. Обозначим давление воздуха в баллоне в этот момент через р2 и соответствующее показание манометра - через h2. Это будет третье состояние газа: Т1 и р2. Ясно, что 
(16) Так как переход от второго состояния (после закрытия крана) к третьему произошел без изменения объема, то можно применить здесь закон Гей-Люссака: 
(17)
К переходу из первого состояния во второе (процесс адиабатического расширения) применяем уравнение Пуассона в форме: 
(18)
Эта форма уравнения Пуассона может быть легко получена из обычной (13) 
если воспользоваться для этой цели уравнением состояния газа 
Возводя последнее уравнение в степень g и разделив его почленно на уравнение Пуассона, получим: 
т.е. уравнение, аналогичное (18).
Подставляя в уравнение (18) значение р1 из (15) и переставляя члены, получаем:
Разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем:
откуда 
Но выражение, стоящее в левой части этого уравнения, есть не что иное, как h2; действительно, подставив в уравнение ( 17) значение р1 из уравнения (16) и разрешив его относительно h2, получим: 
Следовательно, можно записать: 
откуда окончательно находим: 
(19)
Выполнение работы
С помощью трехходового крана Д баллон может соединяться с воздушным насосом, с атмосферой либо перекрываться совсем.
Для проведения измерений кран ставят в положение, при котором воздух нагнетается в баллон с помощью насоса. Когда разность уровней в манометре достигает 20-25 делений шкалы манометра, отключают баллон от насоса и атмосферы. После того как давление окончательно установится, производят отсчет h1 - разности уровней жидкости в обоих коленах манометра (если нуль шкалы манометра находится внизу, то h1 определяется как разность уровней в манометре; если нуль шкалы находится в середине, то берется сумма показаний манометра по обе стороны от нуля). Затем производят на некоторый момент сообщение баллона с атмосферой и быстро его перекрывают (рекомендуется перекрывать баллон сразу после прекращения звука выходящего воздуха). Когда давление окончательно установится, производят второй отсчет по манометру - h2.
Опыт повторить не менее десяти раз, меняя всякий раз величину h1.
Подставляя в формулу (19) значения h1 и h2, взятые из отдельных наблюдений, находят величину g, а все результаты заносят в таблицу:
| № п/п | h1 | h2 | g | Δg | 
|
| .. | |||||
| Ср. |
Окончательно величину g находят как среднее значение всех g, полученных при наблюдении.
Контрольные вопросы
1. Что называется удельной (молярной) теплоемкостью вещества?
2. Почему теплоемкости газа зависят от условий его нагревания?
3. Что называется числом степеней свободы тела?
4. Чему равно отношение молярной теплоемкости газа и его удельной теплоемкости?
5. Чему равно g для воздуха?
6. Дайте определение адиабатического процесса и покажите, как в координатах P и V графически изображаются адиабатический и изотермический процессы.
РАБОТА № 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ И ОТНОШЕНИЕ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ СР/СV ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Особым примером результата интерференции двух волн служат так называемые стоячие волны, образующиеся в результате наложения двух
встречных когерентных волн с одинаковыми амплитудами.
Предположим, что две плоские волны с одинаковыми амплитудами, отстоящие на полпериода, распространяются - одна вдоль положительного направления Y, другая - вдоль отрицательного направления Y (рис. 1). Если начало координат в такой точке, в которой встречные волны имеют одинаковые фазы, и выбрать отсчет времени так, чтобы начальные фазы оказались равными нулю, то уравнения обеих бегущих волн будут иметь вид: 
(1)
: Разные знаки в аргументах синусов обусловлены тем, что волны движутся навстречу друг другу, т.е. их скорости V различаются по знаку.
По принципу суперпозиции (наложения) интерферирующих волн смещение X в результирующей волне будет равно:
Пользуясь выражением для суммы синусов 
,
получаем 
. (2)
Это есть уравнение стоячей волны, которое определяет смещение любой точки среды. В этом уравнении множитель 
(3) не зависит от времени и определяет амплитуду любой колеблющейся точки с координатой x. Поэтому уравнение стоячей волны (2) можно записать так:
(4)
Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. В данном уравнении стоячей волны (4) амплитуда Аст для каждой точки волны вполне определена, но при переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния Y.
На рисунке 1 видно, что ряд точек на оси ОY в результате интерференции встречных волн вообще не колеблется. А именно, это все те точки, для которых 
. Т.е. 
, или 
, (5)
где n=..,-2,-1,0,1,2,..
Точки на оси ОY, координаты которых задаются условием (5), называются узлами (т. 2, 4, 6 и т.д.).
Если же 
, то амплитуда колебаний максимальна; такие точки называются n пучностями (т. 2, 3, 5, и т.д.). Для них 
(6)
Из (5) и (6) нетрудно найти, что расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями), называемое длиной стоячей волны, будет равно 
(7), где l - длина бегущих волн.
Как известно, длиной бегущей волны называется расстояние, на которое распространяются колебания за один период, т.е. l=vT. Так как T=1/n, где n - частота колебаний, то V=ln. Тогда, используя (7), получим, что скорость распространения для бегущей волны равна: V=2lcnn (8)
В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная бегущие волны переносят энергию в равных количествах и в противоположенных направлениях.
Скорость распространения звуковых волн во многом зависит от упругих свойств среды, в которой они распространяются. При распространении звуковой волны частицы среды совершают колебания около положения равновесия. При этом происходит передача энергии без переноса вещества.
Если колебания частиц среды происходят в том же направлении, что и распространение энергии, волны называются продольными. Если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения энергии, то такие волны называются поперечными.
Можно показать, что скорость распространения продольных звуковых волн в сплошной среде определяется формулой 
, (9)
где Е - модуль упругости среды (модуль Юнга), а r - плотность среды.
Кроме того, по закону Гука для деформируемого упругого стержня:
, (10)
где s - механическое напряжение, т.е. сила, отнесенная к единице поперечного сечения стержня и измеряемая в тех же единицах, что и давление; ∆l ⁄ l - относительное изменение длины стержня.
Поскольку основной средой, в которой распространяются звуковые волны, является воздух, рассмотрим вопрос о скорости распространения упругих продольных волн в газах.
Для столба газа величина s в (10) должна быть заменена добавочным давлением ∆p, вызывающим сжатие газа. Относительную линейную деформацию ∆l ⁄ l можно заменить относительной объемной деформацией ∆V ⁄ V, так как мы полагаем, что столб газа сжимается лишь вдоль своей длины, не меняя своего поперечного сечения. Таким образом, имеем
(11)
Полагая изменение давления и объема бесконечно малыми, можно записать (11) в виде: 
(12)
Знак минус ставим потому, что положительному dp, т.е. увеличению давления, соответствует уменьшение объема, т.е. отрицательное dV, тогда
(13)
Звуковые колебания происходят настолько быстро, что сжатие и разряжение газа будут происходить без теплообмена, т.е. адиабатически. Для такого газового процесса справедливо уравнение Пуассона:
PVg=const (14),
где g=Cp/Cv - отношение удельных (молярных) теплоемкостей газа.
Дифференцируя уравнение (14) сначала по р, а затем по V, получаем следующее соотношение: 
(15)
Подставляя (15) в (13), находим, что 
(16)
Из уравнения Клапейрона-Менделеева для любой массы газа: 
,
где m - молярная масса газа, можно найти плотность газа r: 
(17)
Подставляя уравнения (16) и (17) в формулу (9), получим выражение для скорости звука в газе 
(18)
Таким образом, для данного газа скорость звука прямо пропорциональна корню квадратному из термодинамической температуры T и не зависит от давления газа Р. Зная скорость звука в данной газовой среде и его термодинамическую температуру, из (18) можно определить величину
g=СР / CV: 
(19)
Описание установки
В данной работе для определения скорости звука при комнатной температуре, а затем g=СР / CV используется установка, изображенная на рисунке 2. Здесь Д - длинная стеклянная трубка с миллиметровой шкалой. Нижним концом трубка соединяется резиновым шлангом с сосудом S, заполненным жидкостью. На верхний конец трубки надето эбонитовое кольцо. К верхнему отверстию которого прикреплен электроакустический преобразователь от телефона. В боковую стенку нижней части эбонитового кольца вставлена слуховая трубка С. Катушка телефонного преобразователя подключается к выходным клеммам звукового генератора (ЗГ). Через катушку протекает синусоидальный ток, генерируемый звуковым генератором. Колебания мембраны телефона будут передаваться частицам воздуха, заключенным в трубке Д, в результате чего в ней образуются воздушные звуковые волны.
При отражении от жидкости прямая и отраженная волны накладываются друг на друга и образуют стоячую звуковую волну.
Перемещая уровень жидкости в трубке Д подниманием или опусканием сосуда S, добиваются резонанса, т.е. максимального звучания воздушного столба, заключенного в трубке. Длину звуковой волны можно вычислить, измерив расстояние l, на которое должен переместиться уровень жидкости в трубке Д при переходе от одной точки с максимальным звучанием к следующей. (Очевидно, что l=lСТ.)
Выполнение работы
Включают звуковой генератор и по указанию преподавателя устанавливают его на частоту в пределах от 800 до 1500 Гц.
Перемещая уровень жидкости в трубке поочередно вверх и вниз, определяют по слуху максимум звучания воздушного столба. Отмечают его положение по миллиметровой шкале.
Подобным образом находят последующие за этим другие максимумы звучания при нескольких подъемах и опусканиях уровня.
После усреднения отсчетов положения максимумов звучания находят разность между средними соседними максимумами звучания 
и так же усредняют их.
По формуле (8) вычисляют среднее значение скорости звука при данной температуре и для данной частоты.
Таблица 1
| № п/п | Отсчеты | Ср. зн. отсчетов |  , мм
| 
мм
|  ,
м/с
|  ,
м/с
|  100%
| 
| |||
| вниз | вверх | вниз | |||||||||
| … | |||||||||||
| Ср. | XX | XXX | XX | XXXXX | |||||||
Аналогичные измерения проводят для других частот и все данные заносят в таблицы.
По формуле (9), используя полученные значения скорости звука, получают ряд значений γ и усредняют их.
Контрольные вопросы
1. Как связаны скорость распространения колебаний с упругостью среды?
2. Почему можно применять уравнения адиабатического процесса к газу, в
котором распространяется звуковая волна?
3. Объясните возникновение стоячих волн.
4. Переносит ли стоячая волна энергию?
5. Что называется теплоемкостью?
6. Почему теплоемкость газа при постоянном объеме СV не равна теплоемкости газа при постоянном давлении СР?
РАБОТА №14