Потрібно було довести. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Приклад. Дослідити збіжність числового ряду . Розв’язування. Загальний член ряду Знайдемо при його границю : Отже, даний ряд є розбіжним. Відмітимо, що є лише необхідною умовою збіжності числового ряду, але не достатньою. Це означає, що дана умова може виконуватися, але відповідний числовий ряд може бути розбіжним. Прикладом єгармонічний ряд . Як бачимо, необхідна умова для цього ряду виконується: , однак він є розбіжним . Існує декілька ознак, які дозволяють стверджувати збіжність або розбіжність числових рядів.
Достатні ознаки збіжності числових рядів З додатними членами
Ознака порівняння рядів ТЕОРЕМА. Якщо кожний член ряду (8.10) З додатними членами менший (або рівний) відповідного члена Збіжного ряду (8.11) З додатними членами, то ряд (8.10) збігається. Якщо кожний член ряду (8.10) більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду (8.11), то ряд (8.10) розбігається. Доведення. Нехай і ряд (8.11) збігається. Складемо суми перших членів рядів (8.10) і (8.11):
Оскільки то Ряд (8.11) збігається, то Звідси випливає, що При необмеженому зростанні номера послідовність сум як зростаюча послідовність і обмежена звер- ху числом , має границю тобто а тому ряд (8.10) також збігається. Нехай і ряд (8.11) розбігається. Тоді в силу нерівностей випливає, що Але оскільки то також буде необмежено зростати , тобто ряд буде розбігатися. Приклад 1. Дослідити збіжність ряду
Розв’язування. Порівняємо даний ряд з нескінченно спадною геометричною прогресією Оскільки для довільного , а ряд нескінченно спадної геометричної прогресії є збіжним рядом, то згідно з ознакою порівняння рядів вихідний ряд буде збіжним. Приклад 2.Дослідити збіжність ряду Розв’язування. Даний ряд порівняємо з гармонічним рядом. Для довільного виконується нерівність Як було показано вище, гармонічний ряд розбігається, отже даний ряд розбігається також. Ознака Даламбера ТЕОРЕМА. Нехай всі члени ряду додатні і нехай при необмеженому зростанні номера границя відношення го члена до -го існує і дорівнює деякому числу , тобто . Тоді : 1. Якщо , то ряд збіжний. 2. Якщо , то ряд розбіжний. 3. Якщо , то ознака не дає відповіді на питання про збіжність або розбіжність ряду, тобто ряд в даному випадку може як збігатися , так і розбігатися. Доведення. Нехай маємо ряд (8.12) складений із додатних чисел, і нехай . (8.13) Тоді при достатньо великому n, тобто при n не меншому деякого числа N маємо: , де - як завгодно мале додатне число. Звідси як тільки . а) Нехай l<1. Ми зможемо вибрати число ε настільки малим, що l+ε також буде менше одиниці, тоді, поклавши l+ε=q, одержимо: , і т.д. Отже, . Звідси випливає, що члени ряду ., які представляють N- ий залишок ряду (8.12), менші відповідних членів нескінченно спадної геометричної прогресії (знаменник . Цей ряд збіжний, отже ряд (8.12) збіжний. б) Нехай . Тоді можна підібрати таким, що при буде справедлива нерівність . (8.14) де вибирається настільки малим, щоб величина залишалась більшою 1. Тоді кожний наступний член ряду буде більшим за попередній, а це суперечить необхідній ознаці збіжності ряду. Отже, ряд розбігається. в) В тому випадку, коли границя l=1, ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду. Ряди можуть бути як збіжними так і розбіжними. Приклад 1. Дослідити збіжність ряду . Розв’язування. Оскільки , то , а значить, Тут Оскільки , то згідно з ознакою Даламбера даний ряд збігається. Приклад 2. Дослідити збіжність ряду . Розв’язування. Тут , . Тому
Оскільки l=∞, то за ознакою Даламбера числовий ряд розбігається. Приклад 3. Дослідити збіжність ряду Розв’язування. Знаходимо Одержану невизначеність типу розкриємо за правилом Лопіталя:
Тому за ознакою Даламбера збіжність вихідного ряду встановити неможливо. Якщо ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність ряду (при l=1), потрібно використати інші ознаки дослідження збіжності даного ряду.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|