 |
|
Знакопереміжні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
Згадані ознаки збіжності числових рядів відносились до рядів з додатними членами. Розглянемо тепер ряди, частина членів яких додатна, а частина – від’ємна або рівна нулю.
Якщо члени числового ряду мають різні знаки, то ряд називається знакозмінним.
Якщо два підряд члени ряду мають різні знаки, то знакозмінний ряд називають знакопереміжним. Він має вигляд
Числа u1, u2, u3,…,un,… - додатні. На питання про збіжність або розбіжність такого ряду дає відповідь ознака Лейбніца, яка фор- мулюється у вигляді теореми.
ТЕОРЕМА. Якщо із зростанням номера n члени ряду
(8.20)
за абсолютною величиною спадають, а загальний член un прямує до нуля при n®∞, тобто 
=0,то ряд(8.20)збігається.
Доведення. Просумуємо парне число членів ряду (8.20):
Тоді 
Оскільки за умовою теореми 
, то 
, тобто із зростанням n суми з парними індексами також зростають.
Запишемо тепер часткову суму 
в іншому вигляді:
Оскільки згідно з умовою теореми 
при будь-якому 
, то із останньої рівності випливає, що 
Таким чином, послідовність 
зростає із зростанням n, і залишається обмеженою, а тому прямує до визначеної границі, тобто 
.
Тепер просумуємо непарне число членів ряду (8.20)
.
Але тому що за умовою теореми 
то
Таким чином, доведено, що при даних умовах, ряд (8.20) збігається і 
.
Наслідок. Якщо ряд (8.20) збігається, то залишок ряду також представляє собою збіжний ряд і його сума дорівнює 
.
Залишок ряду, який задовольняє умовам тільки що доведеної теореми, рівний 
Звідси 
і ряд в правій частині задовольняє умовам теореми. Тому 
, тобто 
.
Ця формула дає оцінку величини похибки в тому випадку, якщо замість суми ряду (8.20) береться сума перших його членів. Як видно, що для знакозмінних рядів із спадними членами ця похибка не перевищує абсолютної величини першого із відкинутих членів.
Приклад 1.Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування. Абсолютні величини членів знакопереміжного ряду спадають: 
і границя загального члена рівна нулю, тобто 
Обидві умови ознаки Лейбніца виконуються, тому заданий ряд збігається.
Якщо хоч одна із умов ознаки Лейбніца не виконується, то знакопереміжний ряд буде розбіжним.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування. Оскільки
то даний ряд розбіжний.
Тут не виконується одна з умов ознаки Лейбніца збіжності
знакопереміжного ряду: 