 |
|
Функции. Общие свойства
Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной 
поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Аналитическое представление функции:
в явном виде: 
;
в неявном виде: 
;
в параметрической форме: 
;
разными формулами в области определения (a,c]: 
.
Четная функция: 
.
Нечетная функция: 
.
Периодическая функция: 
, где T – период функции, 
.
Основные элементарные функции
| Название | Формула | Частные случаи | |
| Постоянная | 
| 
| |
| Степенная функция | 
|  ;
 ;  ;
 ; 
| |
| Показательная функция | 
| 
| |
| Логарифмическая функция | 
|  ; 
| |
| Тригонометрические функции |  ;  ;
 ;  .
| ||
| Обратные тригонометрические функции |  ;
 ;
 ;
|
Графики основных элементарных функций:
Парабола 
| Гипербола 
|
График показательной функции
| График логарифмической фунгкции
|
Синусоида  и косинусоида 
| |
|
Теория пределов
Пределом функции 
при 
называется число b, если для любого 
(e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента 
, начиная с которого выполняется неравенство 
.
Обозначение: 
.
Пределом функции 
при 
называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство .
Обозначение: 
.
Формула для вычисления предела элементарной функции в точке 
, где 
: 
.
Бесконечно малая величина при 
есть функция 
такая, что 
.
Бесконечно большая величина при 
есть функция 
такая, что 
.
Первый замечательный предел: 
.
Следствия: 
; 
;
Второй замечательный предел: 
, где e=2,71828…
Следствия: 
; 
; 
; 
.
Эквивалентные бесконечно малые величиныпри 
:
x ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ex-1 ~ ln(1+x).
Виды неопределенностей:
| Символическое обозначение | Содержание неопределенности | Пределы компонент при x ® a |
| 
| a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0 |
| 
| b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥ |
| 
| a (x) ® 0 b (x) ® ¥ |
| 
| b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥ |
| 
| g (x) ® 1 b (x) ® ¥ |
| 
| a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0 |
| 
| a (x) ® 0 b (x) ® ¥ |