Главная | Обратная связь

Метод взвешенной скользящей средней.

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка. Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:

для m=5 - веса (-3; 12; 17; 12; -3);

для m=7 - веса (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) .

Особенности весов:

1) симметричны относительно центрального члена;

2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1.

Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными.

В практических расчетах часто метод взвешенной скользящей средней реализуется с использованием формулы:

 

Метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса. Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда на момент времени t определяется по формуле:

где a - параметр сглаживания, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем 0<a<1;

- величина, характеризующая начальные условия.

Задачу выбора параметра y₀, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: =y₁ или

Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра a и определение начального условия y₀. От численного значения параметра a зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра a, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

 

Расчет показателей развития динамики экономических процессов.

 

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста.

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

(темп роста для i-го периода, к - определяет начальный уровень);

(темп прироста для i-го периода).

Среднюю скорость изменения изучаемого явления за рассматриваемый период характеризует средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней геометрической:

Соответственно, средний темп прироста определяется как

.

Эти показатели используются при планировании деятельности хозяйствующего субъекта на основе традиционного принципа планирования (прогнозирования) от достигнутого уровня (от базы В):

.

Эти способы прогнозирования привлекательны из-за своей простоты, однако они имеют некоторые существенные недостатки и особенности:

· они учитывают начальный и конечный уровни ряда, исключая влияние промежуточных уровней;

· получение прогнозного значения методом среднего абсолютного прироста корректно, если динамика ряда близка к линейной;

· использование среднего темпа роста для прогнозирования соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, и характерно для процессов с постоянным темпом роста.

В связи с этим данные подходы можно использовать лишь как ориентир будущего развития, как простейший приближенный способ прогнозирования. Они дают хорошие результаты в том случае, если сохраняется ранее сложившаяся тенденция роста или падения доходов.

Таким образом, основными достоинствами при использовании для целей прогнозирования показателей среднего темпа роста и прироста являются простота и доступность, основным недостатком – количественная неточность.

Для более точного решения задач анализа и моделирования тенденций изменения исследуемого показателя используются математические модели экономической динамики.

Математические модели прогнозирования, основанные на использовании одномерных временных рядов, делятся на два класса: модели кривых роста и адаптивные модели.

Параметры большинства "кривых роста", как правило, оцениваются по методу наименьших квад­ратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции "кри­вой роста" располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Согласно методу наименьших квадратов при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т.е. их инфор­мационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу наиболее простых относятся линейные модели роста

,

где - параметры модели, t = 1, 2, … , n.

Графическое представление этой модели – отрезок прямой на ретроспективе данных – показано ниже на рис. 1.

Рис.1. Аппроксимация динамики линейной кривой роста

 

Рассмотрим оценку параметров модели по методу наименьших квадратов (МНК), сводящемуся к поиску таких значений и , при которых сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных значений (модельных) является наименьшей. Математически критерий такой оценки параметров записывается в виде:

Для нахождения минимума функции двух переменных следует взять частные производные по и , а затем приравнять их нулю. В результате получим так называемую систему нормальных уравнений

.

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим

где и - средние значения, соответственно, моментов наблюдения и уровней ВР.

Оценки указанных параметров можно получить с помощью программы Регрессия статистического пакета Анализ данных Excel.