Определение функционального ряда. Область сходимости. Равномерная сходимостьСтр 1 из 3Следующая ⇒
Г л а в а 2. Функциональные ряды
Определение 1. Пусть дана последовательность функций . Выражение в виде бесконечной суммы или (*) называется функциональным рядом. При любом значении из области определения членов ряда получается числовой ряд, сходимость которого можно исследовать. Напомним, что ряд может сходится как условно, так и абсолютно. Определение 2. Множество значений , для которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости ряда. Обозначим область сходимости ряда (*) . Каждому отвечает значение суммы ряда (*), тем самым на множестве определена функция ─ сумма функционального ряда. Обозначим частичные суммы ряда (*) , а остаток ряда . Если ряд сходится, то . Примеры. 1) . . Очевидно, что область сходимости, причем абсолютной, . 2). ─ сходится условно при всех . Определение 3. Ряд (*) называется равномерно сходящимся на множестве , если для такой номер , такой, что при всех и всех выполняется неравенство . Иначе, остаток ряда оказывается сколь угодно мал сразу для всех , если достаточно велико. Для примера исследуем на равномерную сходимость ряд . Найдем остаток . Ясно, что при . Теперь при фиксированном найдем пределы , . Значения этих пределов говорят о том, что остаток ряда не может быть сколь угодно малым сразу для всех , какой бы большой номер ни взять. Значит, ряд сходится неравномерно. Запомним: 1). Ряд сходится абсолютно при , но неравномерно.
2). Остаток сходящегося знакочередующегося ряда не превышает по модулю первого отброшенного члена, поэтому . Очевидно, что модуль остатка может стать сколь угодно малым при достаточно большом . Итак, этот ряд сходится равномерно, но условно. Равномерная сходимость играет важную роль в исследовании функции ─ суммы функционального ряда. Приведем признак равномерной сходимости.
Теорема. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости) Если для каждого члена ряда (*) существует число такое, что , причем числовой ряд сходится, то ряд (*) сходится равномерно и абсолютно. Доказательство. Неравенство означает, что ряд является мажорантой ряда , значит, ряд (*) сходится абсолютно. Покажем теперь, что остаток функционального ряда (*) оценивается через остаток числового ряда . Для некоторого запишем .
При получим , где ─ остаток ряда . По условию теоремы ряд сходится, поэтому для такой номер , такой, что при всех выполняется неравенство , а, значит и сразу для всех . ■
Замечание. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости не является необходимым, что показывает пример ряда , который сходится равномерно, но условно, т.е. не обладает сходящейся мажорантой. Рассмотрим ряд при где любое фиксированное число. При верно неравенство . Числовой ряд сходится, поэтому ряд сходится равномерно при для любого , .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|