Главная | Обратная связь

Элементарные свойства рядов

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Конспект лекций

по теме:

«Числовые ряды»

Волгодонск

Числовые ряды

 

Определение:Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:

числовым рядом называется выражение , где – общий член ряда.

Пример:

-знакоположительный ряд

-знакочередующийся ряд

Последовательность , где ; ; - последовательность частичных сумм ряда.

Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

 

, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.

1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.

, где n – частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим 3 случая:

1) геометрическая прогрессия убывающая.

сходится и имеет сумму

2)

3)

= не существует – ряд расходится.

Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится

 

Элементарные свойства рядов

 

1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.

Доказательство:Пусть , n– ая частичная сумма 1 ряда.

, n–ая частичная сумма 2 ряда.

Т.к 1 ряд сходится, то .

Рассмотрим (2) ряд сходится.

Конец доказательства.

2) Если (1) сходится с суммой S₁, и (2) сходится с суммой S₂.

тоже сходится с суммой .

Доказательство:

Обозначим - n – частичная сумма 1 ряда.

- n – частичная сумма 2 ряда.

Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда

и сумма .

Конец доказательства.

3) Любой ряд может быть представлен в виде:

, где - n – частичная сумма

- n – остаток ряда.

n – остаток ряда тоже является рядом.

Если , то и его остаток тоже сходится.

Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.

Конец доказательства.

Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…

Дописывание : 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11

4)Если сходится с суммой S .

Общий вывод:на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.