 |
|
Радикальный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами 
и 
Если 
- сходиться
Если 
- расходиться
Если 
- вопрос о сходимости не решен
Доказательство:
по определению 
, начиная с которого 
1) Пусть С<1 выберем 
настолько малым, чтобы 
, тогда из правой части 
< 
, ряд 
, где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем 
настолько малым, чтобы 
>1 из левой части > ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.
3)С=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда 
– расходится (p=1) и 
-сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.
Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1) 
2) 
3) 
Интегральный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами , что 
( 
) и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл 
и сходится и расходится одновременно.
Доказательство:
f(n)=Un
n
S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))
- n частичная сумма ряда.
S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)
- n+1 частичная сумма ряда.
очевидно неравенство 
Пусть несобственный интеграл 
сходится 
Из левой части 
<числа 
- ограничена сверху числом - сходится.
Пусть расходится 
из правой части (*) 
неограничен ряд расходится.
Конец доказательства.
Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:
свяжем с эти рядом несобственный интеграл
(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.
Примеры:
1) 
2) 