Дифференциальные уравнения Эйлера и их интегрирование
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения при так называемом относительном покое. В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами Давление где Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси на площадь грани: Аналогичным образом, но через градиенты давления На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде: Разделим эти уравнения на массу
Система (2.5) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера . Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (2.5) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (2.5) на Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции
или,
Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и направить ось z вертикально вверх, то X=Y=O, Z=g и, следовательно, вместо уравнения (2.7) для этого частного случая равновесия жидкости получим После интегрирования будем иметь Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности, для которой при z = z0 p = р0 Получим При этом или Заменяя в уравнении(2.8) разность
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|