Здавалка
Главная | Обратная связь

Системы линейных алгебраических уравнений.



Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы m линейных уравнений с n неизвестными

Коэффициенты и свободные члены считаются заданными. В матричной форме система имеет вид , где А – матрица коэффициентов системы, B- вектор-столбец свободных членов, X- вектор-столбец неизвестных. Расширенной матрицей называется матрица

.

Понятия совместности и определенности системы рассмотреть самостоятельно.

 

Теорема Кронекера-Капелли

1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.

2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.

3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

4. Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.

 

Формулы Крамера

Дана система трех уравнений с тремя неизвестными

(1)

Основную роль играют следующие четыре определителя:

, , , .

Определитель D называется определителем системы (1). Определители Dx, Dy, Dz получаются из определителя D заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны следующие случаи.

Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.

Случай 2 (D=). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система

не имеет решения, а система

имеет бесконечное число решений.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.