Главная | Обратная связь

Косоугольные проекции

 

Косоугольное проецирование отличается от ортогонального тем, что в нем для объемного видения объекта пучок параллельных проецирующих лучей не ортогонален КП. При этом сам объект и его ОСК остаются неподвижными. Соответственно, S_кос=S. Косоугольное проецирование – основной инструмент для построения тени объекта на плоскости и отражения объекта в плоском зеркале.

Во многих задачах (построение теней и зеркальных отражений, расчет освещенности поверхностей) требуется знать вектор направления на источник проецирующих лучей, выраженный в объектных координатах. В МСК это вектор S. Например, при фронтальном ортогональном проецировании S=[0 0 1], при горизонтальном – S=[0 1 0], профильном – S=[1 0 0], для стандартной диметрии S_дим=[1 1 Ö7], для стандартной изометрии S_изо=[1 1 1].

При косоугольном проецировании вектор направления на проецирующий пучок S=[s_x s_y s_z] составляет с нормалью к ФКП угол проецирования l_f такой, что (рис.1):

Косоугольное проецирование на фронтальную плоскость:

p'=pK_f

, c_x= s_x / s_z, c_y= s_y / s_z.

Получим коэффициенты осевых искажений, проецируя косоугольно орты ОСК на ФКП:

Þ m_x = m_y = 1,

Углы ориентации проекций осей ОСК на ФКП (рис.2) определяются условиями:

g_xy=90°, tg(g_yz) = c_x / c_y = s_x / s_y, tg(g_zx) = tg(90 - g_yz + 180) = c_y / c_x = s_y / s_{x .}

Окружности, в плоскостях, параллельных КП, проецируются в окружности, т.е. без искажений. Это главное отличие и основное преимущество косоугольного проецирования перед аксонометрическим, позволяющее избежать построения эллипсов с произвольной ориентацией полуосей.

 

Рис.1. Расчет параметров косоугольной проекции, проекция осей ОСК на ФКП

 

 

Рис.2. Расчет параметров косоугольной проекции, углы между проекциями осей ОСК на ФКП (g ® g)

 

 

Приведем по аналогии без вывода формулы расчета параметров косоугольной горизонтальной и профильной проекций:

 

Горизонтальная проекция:

, c_x = s_x / s_y, c_z = s_z / s_y.

Получим коэффициенты осевых искажений, проецируя косоугольно орты ОСК на ГКП:

m_x = m_z = 1,

Углы ориентации проекций осей ОСК на ГКП определяются условиями:

g_xz=90°, tg(g_yz) = c_x / c_z = s_x / s_z, tg(g_xy) = c_z / c_x = s_z / s_x.

 

Профильная проекция:

, c_y = s_y / s_x, c_z = s_z / s_x.

Получим коэффициенты осевых искажений, проецируя косоугольно орты ОСК на ПКП:

m_y = m_z = 1,

Углы ориентации проекций осей ОСК на ПКП определяются условиями:

g_yz=90°, tg(g_zx) = c_y / c_z = s_y / s_z, tg(g_xy) = c_z / c_y = s_z / s_y.

 

Некоторые направления вектора S дают стандартные косоугольные проекции:

– Кабинетная проекция (косоугольная фронтальная диметрия) образуется при S=[1 1 2Ö2].

Тогда m_x = m_y = 1, m_z = 0.5, g_xy = 90°, g_yz = g_zx = 135°.

Данная проекция наиболее наглядна и проста в построении. Часто кабинетной проекцией ошибочно называют построенную на бумаге в клетку косоугольную проекцию с соотношением масштабов 2:2:Ö2, близким к соотношению 2:2:1 кабинетной проекции.

– Кавальерная или военная проекция (косоугольная фронтальная изометрия) образуется при выборе S=[1 1 Ö2].

Тогда m_x = m_y = m_z = 1, g_xy = 90°, g_yz = g_zx = 135°.

По сравнению с кабинетной проекцией лучи при кавальерном проецировании проходят более полого, под большим углом к КП. Из-за этого проекции объектов выглядят вытянутыми и несколько неестественными. В то же время кавальерная проекция удобна для измерения длин отрезков, параллельных осям координат. Геометрическая точность и способность отображать объем объясняют использование в старину кавальерных проекций в фортификационном деле.

– Зенитная проекция (косоугольная горизонтальная изометрия) образуется при выборе направления проецирования S=[1 2 Ö3].

Тогда m_x = m_y = m_z = 1, g_xy = 90°, g_yz = 150°, g_zx = 120°.

Данная проекция представляет наклонный вид на объект сверху. В аэрофотосъемке используется зенитная диметрия – вид с высоты птичьего полета – с углом наблюдения l_h»0° и соотношениями осевых масштабов и координат точки наблюдения m_x:m_y:m_z = 1:k_y:1, где выбор коэффициента сжатия высоты k_y позволяет изображать на чертеже вытянутые вверх объекты – горы, небоскребы, башни.

Если перед косоугольным проецированием выполнить вращения объекта, то получим косоугольную триметрию – наиболее общий вид параллельного проецирования, в котором осевые масштабы связаны условием:

m_x² + m_y² + m_z² = 2 + tg²(l)