Здавалка
Главная | Обратная связь

Векторы, операции над ними.



НЕДЕЛЯ 2

 

 

Лекция 3.

 

Координаты точки на прямой и плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

В основе метода координат лежит понятие системы координат.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.

В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М11, у1) и М222). Расстояние между ними определяется по формуле:

(1)

Три точки плоскости, не лежащие на одной прямой образуют треугольник.

Теорема.Для любых трех точек А(х11),В(х22) и С(х33), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

(2)

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1).

Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М111) и М222) в заданном отношении λ, определяются по формулам:

(3)

При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка:

(4)

 

 
 


у М222)

М111) М(х;у) ρ М

φ

О Р1 Р Р2 х O

 

рис.1 рис.2

 

В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюса О (ρ–полярный радиус-вектор точки) и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ (рис.2). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты ρ и φ связаны следующими формулами

Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.61-63.

 

 

Лекция 4.

Векторы, операции над ними.

 

Рассмотреть самостоятельно следующие понятия: вектор, длина вектора, нулевой и единичный вектор, равные вектора, коллинеарные и компланарные вектора, сложение и вычитание вектора по правилам треугольника и параллелограмма, умножение вектора на число.

 

Пусть задана ось L и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось L называется величина А¢В¢ на оси L. Проекция вектора АВ на ось L равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью L, т.е.

 

Направляющими косинусами вектора `а называются косинусы углов между вектором `а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

,

разность векторов

,

умножение вектора на число l

.

Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения векторов:

.

.

.

.

. , если

Следствие. Угол между векторами и определяется по формуле

или

Сформируем условия параллельности перпендикулярности двух векторов и

1. Векторы и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно , то есть

или

2. Векторы и параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны

 

Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, который:

1. перпендикулярен векторам и ;

2. имеет длину , - угол между векторами и ;

3. с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

Обозначается

 

Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

 

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

 

Если , тогда .

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.