Векторы, операции над ними.Стр 1 из 2Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 2
Лекция 3.
Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении. В основе метода координат лежит понятие системы координат. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината. Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М1(х1, у1) и М2(х2;у2). Расстояние между ними определяется по формуле: (1) Три точки плоскости, не лежащие на одной прямой образуют треугольник. Теорема.Для любых трех точек А(х1;у1),В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле (2) Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1). Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2) в заданном отношении λ, определяются по формулам: (3) При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка: (4)
у М2(х2;у2) М1(х1;у1) М(х;у) ρ М φ О Р1 Р Р2 х O
рис.1 рис.2
В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюса О (ρ–полярный радиус-вектор точки) и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ (рис.2). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки. Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты ρ и φ связаны следующими формулами Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.61-63.
Лекция 4. Векторы, операции над ними.
Рассмотреть самостоятельно следующие понятия: вектор, длина вектора, нулевой и единичный вектор, равные вектора, коллинеарные и компланарные вектора, сложение и вычитание вектора по правилам треугольника и параллелограмма, умножение вектора на число.
Пусть задана ось L и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось L называется величина А¢В¢ на оси L. Проекция вектора АВ на ось L равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью L, т.е.
Направляющими косинусами вектора `а называются косинусы углов между вектором `а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число. Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора . Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор . Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0. Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается , разность векторов , умножение вектора на число l . Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле Свойства скалярного произведения векторов: . . . . . , если Следствие. Угол между векторами и определяется по формуле
или Сформируем условия параллельности перпендикулярности двух векторов и 1. Векторы и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно , то есть или 2. Векторы и параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны
Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, который: 1. перпендикулярен векторам и ; 2. имеет длину , - угол между векторами и ; 3. с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки. Обозначается
Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Свойства векторного произведения: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Если , тогда .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|