Векторы, операции над ними.

НЕДЕЛЯ 2

Лекция 3.

Координаты точки на прямой и плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

В основе метода координат лежит понятие системы координат.

Две взаимно перпендикулярные оси О_х и О_у, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось О_х называется осью абсцисс, ось О_у – осью ординат.

В прямоугольной системе координат О_ху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М₁(х_1,у₁) и М₂(х₂;у₂). Расстояние между ними определяется по формуле:

(1)

Три точки плоскости, не лежащие на одной прямой образуют треугольник.

Теорема.Для любых трех точек А(х₁;у₁),В(х₂;у₂) и С(х₃;у₃), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

(2)

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂ и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М₂ (рис.1).

Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) в заданном отношении λ, определяются по формулам:

(3)

При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка:

(4)

у М₂(х₂;у₂)

М₁(х₁;у₁) М(х;у) ρ М

О Р₁ Р Р₂ х O

рис.1 рис.2

В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюса О (ρ–полярный радиус-вектор точки) и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ (рис.2). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты ρ и φ связаны следующими формулами

Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.61-63.

Лекция 4.

Векторы, операции над ними.

Рассмотреть самостоятельно следующие понятия: вектор, длина вектора, нулевой и единичный вектор, равные вектора, коллинеарные и компланарные вектора, сложение и вычитание вектора по правилам треугольника и параллелограмма, умножение вектора на число.

Пусть задана ось L и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось L называется величина А¢В¢ на оси L. Проекция вектора АВ на ось L равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью L, т.е.

Направляющими косинусами вектора `а называются косинусы углов между вектором `а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

разность векторов

умножение вектора на число l

Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Если векторы и заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения векторов:

. , если

Следствие. Угол между векторами и определяется по формуле

или

Сформируем условия параллельности перпендикулярности двух векторов и

1. Векторы и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно , то есть

или

2. Векторы и параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны

Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор c, который:

1. перпендикулярен векторам и ;

2. имеет длину , - угол между векторами и ;

3. с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

Обозначается

Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Если , тогда .

12 Следующая ⇒