ВКАЗІВКИ ТА ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
1. Обчислити визначник: а) за допомогою елементарних перетворень: б)розклавши за елементами рядка (або стовпця): Розв’язування. а) за допомогою елементарних перетворень:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]()
![]() ![]() ![]() Другий рядок залишаємо без змін. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи другого. Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого, помножені на (-2), додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи другого, помножені на (-5). Одержаний визначник, скориставшись теоремою розкладу, розкладемо визначник за елементами першого стовпця. б)розклавши за елементами першого рядка , одержимо: 2. Розв’язати систему рівнянь: а) методом Гаусса, б)за правилом Крамера, в)матричним методом. Розв’язування.
![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Виключимо невідому x1 з другого і третього рівнянь. Для цього додамо перше і друге рівняння, перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до третього, одержимо: Виключимо змінну x2 з третього рівняння. Для цього додамо друге і третє рівняння, отримуємо: З одержаної системи, послідовно, визначаємо х3, х2, х1. Отже множина чисел б) За правилом Крамера. Знаходимо визначник системи (за правилом Саррюса):
де
Отже, в) Матричним методом. Введемо позначення: У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так Звідси, одержимо розв’язок: 1) обчислимо визначник матриці 2) знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці
Запишемо матрицю із цих алгебраїчних доповнень:
3) Транспонуючи її, одержимо приєднану матрицю:
4) Обернена матриця має вигляд:
Отже, x1=1, x2=2, x3=1 – розв’язок заданої системи лінійних рівнянь. 3. Для виготовлення чотирьох видів продукції Р1, Р2, Р3, Р4 використовують три види сировини S1, S2, і S3. Запаси сировини та норми витрат наведені в таблиці:
Визначити кількість продукції Р1, Р2, Р3, Р4, яку можна виготовити, якщо сировину буде повністю вичерпано. Вказати базовий розв’язок. Розв’язування:Якщо вважати, що х1, х2, х3, х4 – це кількість одиниць продукції Р1, Р2, Р3, Р4, то дану задачу можна записати в вигляді системи лінійних рівнянь: що представляє собою математичну модель даної економічної задачі. Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса, використовуючи таблиці: Табл. 1. В першому рядку за ключовий елемент вибираємо 1. Цей рядок називається ключовим рядком. Переписуємо його без змін першим рядком другої таблиці. До відповідних елементів другого і третього рядків додаємо елементи першого помножені на “-2”. Результати записуємо другим і третім рядком таблиці 2.
Табл. 2. В якості ключового елемента вибираємо “-5”. Результат ділення другого рядка на ключовий елемент, записуємо другим рядком третьої таблиці. Помноживши другий рядок таблиці 3 на “-3”, а потім на ”4”, додаючи отримані рядки відповідно до першого і третього рядків другої таблиці, отримуємо перший і третій рядки третьої таблиці, в яких відбувся процес виключення невідомої х2. Табл. 3. В третьому рядку ключовий елемент (-7/5) є коефіцієнтом при невідомій х3. Тому ділимо третій рядок третьої таблиці на ключовий елемент (-7/5) і записуємо отриманий рядок третім рядком четвертої таблиці. Нам залишається виключити невідому х3 з перших двох рядків третьої таблиці. Для цього третій рядок множимо спочатку на (-4/5) і додаємо до першого рядка третьої таблиці, а потім, множимо на (-2/5) і додаємо до другого рядка третьої таблиці. Результати дій записуємо першим і другим рядком четвертої таблиці. Таким чином ми отримали результуючу четверту таблицю, в якій кожний рядок має лише дві із чотирьох невідомих. Ця таблиця є розширеною матрицею системи рівнянь: В останній системі рівнянь х1, х2, х3 називаються базисними змінними, оскільки матриця, складена з коефіцієнтів при них є одиничною. Невідома х4 називається вільною, тому що може приймати будь-які значення. Але в нашій задачі невідомі хі (і=1, 2, 3, 4) виражають кількість реалізованої продукції, тому вони повинні бути невід’ємними, тобто хі ≥ 0. А значить 4.Три фірми виробили чотири види виробів А1, А2, А3, А4. Відповідно: 13 шт.; 12 шт.; 4 шт.; 11 шт.; ІІ –13; 7; 21; 15; ІІІ – 2; 10; 12; 8. Ціна 1 шт. продукції в місті В1 відповідно: 5 грн., 4, 3 грн., 2 грн., 1, 5 грн., в В2 – 1; 1, 4; 3, 2; 1, 3; в В3 – 2; 3, 6; 2, 5;. 1. Визначити дохід, який одержать фірми від продажу даної продукції в кожному з міст. ( Використати добуток матриць). Розв’язування: Запишемо матрицю продукції Знайдемо добуток матриць Ап та Вц –
Матриця-добуток дає можливість аналізувати і порівнювати очікуваний дохід від продажу виробленої продукції. Наприклад: 141,5 –дохід першої фірми в місті В1, 103,7 – дохід другої фірми в місті В2, 118,7 – дохід другої фірми в місті В3. З матриці також видно, що перша фірма одержить дохід в першому місті 141,5 грн., в другому – 56,9 грн., в третьому –90,2 грн., друга, відповідно – 939,6;103,7; 118,7; третя – 89; 64,8; 78.
в) рівняння медіани CE; г) значення кута В; д) площу трикутника АВС. Зробити малюнок. Розв’язування. а) Запишемо рівняння в’язки прямих, які проходять через точку А за формулою у-уА=k(x-xА). У нашому випадку:y-2=kAD(x-2). З умови перпендикулярності AD i BC одержуємо, що Якщо змінну у виразити через х, то одержимо: 2y = -7x+51, у= - Рівняння висоти має вигляд y-2= 7y-2x-10=0. б) Довжину висоти AD знайдемо як відстань від точки А(2; 2) до прямої ВС (7x+2y-51=0) за формулою в) Медіана СЕ ділить сторону АВ трикутника АВС навпіл, тому
Отже, точка Е(3,5; 5) - середина відрізка АВ. Запишемо рівняння медіани СЕ, як рівняння прямої, яка проходить через дві точки С(7; 1) i E(3,5; 5).
3,5(y-1)= -4(x-3,5); 3,5y+4x-17,5=0 або 7y-8x-35=0(CE). г) значення кута В знаходимо за формулою
д) площу трикутника АВС знаходимо за формулою:
Довжину сторони ВС знаходимо як відстань між двома точками
6.Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точки М(-5; -4) i N( Розв’язування.Нехай шукане рівняння еліпса буде Цьому рівнянню повинні задовольняти координати точок M i N. Оскільки точка М належить еліпсу, то виконується рівність Розв’язавши систему рівнянь а і b. Отримуємо a2=50; b2=32. Значить, рівняння еліпса має вигляд A1( Знайдемо величину c= Отже, фокуси мають координати: F1(
7.Знайти границі функцій: а) б) д) Розв’язування. а) Функція f
б) У цьому випадку теж одержимо невизначеність виду в) У цьому випадку має місце невизначеність виду
г) Тут використано формулу: д) у цьому прикладі маємо невизначеність виду
8.Знайти похідні функції: а) Розв’язування. а) Використаємо правило диференціювання для суми двох диференці- йованих функцій, а пізніше знайдемо похідні складних функцій: б) в) Задану функцію прологарифмуємо, а пізніше знаходимо як похідну складної функції: 9.Підприємство за місяць виготовляє х одиниць продукції. Сумарні витрати виробництва описуються функцією Розв’язування.Прибуток В нас дохід - сумарні витрати - прибуток Знайдемо маржинальний прибуток - Максимальним прибуток буде тоді, коли При цьому Отже, щоб прибуток був максимальним, треба випускати 120 од. продукції. Маржинальні витрати - сумарні витрати
Максимальний прибуток
10. Знайти розміри відкритого басейну з квадратним дном об’ємом 32 м3, за яких на облицювання його стін і дна пішла б найменша кількість матеріалу. Розв’язування.Нехай дно басейну - квадрат басейну Дослідимо функцію S(x). Знайдемо її похідну Знаходимо критичні точки:
Обчислимо: Оскільки, похідна функції змінює знак з “-” на “+” при переході через цю критичну точку, то точка При ширині дна квадратної форми 4м, площа облицювання відкритого басейну буде найменша. Знайдемо висоту басейну Отже, розміри відкритого басейну будуть такі: дно квадратної форми має сторону квадрата 4м, висота басейну 2м. 11. При відомій функції попиту Знайти: а)рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит і пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту і пропозиції для рівноважної ціни; в) зміну доходу при підвищенні ціни на 5% від рівноважної. Розв’язування. а) рівноважна ціна – ціна, при якій попит і пропозиція врівноважуються. Тому, рівноважна ціна визначається з рівняння б) знаходимо еластичність попиту і пропозиції за формулами:
В даному випадку
Для рівноважної ціни р=3маємо Знайдені значення еластичності за абсолютною величиною менші за 1, тоді і попит, і пропозиція даного товару при рівноважній ціні нееластичні відносно ціни, тобто зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при підвищенні ціни на 1%, попит зменшиться на 0,75%, а пропозиція підвищиться на 0,75%. б) при підвищенні ціни p на 5% від рівноважної, попит зменшиться на 12. Дослідити та побудувати ескіз графіка функції Розв’язування. 1. Знаходимо область визначення функції: ]-¥; 2[È]2; +¥[. 2. Знаходимо точки перетину прямої з осями координат. Якщо y=f(x) перетинає вісь Ох, то у=0. Якщо у=0, то х=0. 3. Досліджуємо функцію на парність.
4. Досліджуємо функцію на неперервність. В т. х=2 функція має розрив (знаменник рівний нулю, функція невизначена. ). 5. Знаходимо асимптоти кривої. Вертикальна асимптота х=2, тому що Похилу асимптоту шукаємо у вигляді y=kx+b, де b=
Отже, рівняння похилої асимптоти має вигляд: у=х+2. 6. Досліджуємо функцію на екстремум:
Критичні точки: х=0, х=2, х=4. Зобразимо числову пряму і проміжки монотонності:
т. х=0 – точка максимуму, f(0)=0; т. х=4 – точка мінімуму, f(4)= Зробимо малюнок.
13.Мале підприємство виробляє товари А і В. Загальні щоденні витрати V (у гривнях) на виробництво х одиниць товару А та у одиниць товару В відомі: V=320 – 14х-10у+ 0, 2 х2+ 0, 1 у2. 1)Визначити кількість одиниць товарів А і В, яку потрібно виробляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними. Розв’язування. Загальна функція витрат відома: V=320–14x–10y+0, 2х2+0,1 у. 2 Щоб знайти кількість одиниць товарів хтовару А і у товару В, необхідно дослідити цю функцію на екстремум. Знайдемо частинні похідні І-го порядку Прирівнюючи їх до нуля, Знайдемо частинні похідні II порядку: Обчислимо D=АС-В2=0, 4 Отже, функція витрат при х =35, у=50 досягає мінімуму. Це означає, що для того, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними, необхідно виробити 35 одиниць товару А і 50 одиниць товару В. 14.Нехай виробнича функція визначається функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5%, треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник за місяць виготовляв продукції на 2000 грн., а всього робітників було 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн. грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці, еластичність випуску по праці і по фондах. Розв’язування. Еластичність випуску по праці
Отже, шукана виробнича функція 15.Знайти невизначені інтеграли: а) б) ж) Розв’язування. а) Зробимо підстановку: Продиференціюємо:
б) в) Застосовуємо метод інтегрування за частинами: Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx. Тоді du=dx, v= Тобто: г) Знову інтегруємо методом інтегрування за частинами. Підінтегральний вираз є добутком показникової функції на тригонометричну. Виберемо u= Знаходимо шуканий інтеграл: г) Підінтегральний раціональний дріб неправильний. Виділяємо цілу частину:
Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, розкладаємо дріб на суму простих:
е) Розкладемо підінтегральну функцію, яка є правильним раціональним дробом, на суму найпростіших дробів за допомогою неозначених коефіцієнтів Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях
Тоді
Враховуємо, що cos3x=cos2xcosx, та cosxdx=dsinx. Тоді
ж) За допомогою універсальної підстановки
Тоді, 16.Обчислити визначений інтеграл Розв’язування.Зробимо підстановку Продиференціюємо цю рівність Встановимо нові межі інтегрування.
При 17.Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями Розв’язування. Для знаходження меж інтегрування знайдемо точки перетину ліній, розв’язавши систему рівнянь .
18. Обчислити об’єм тіла обертання утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями Розв’язування. Щоб знайти межі інтегрування розв’яжемо систему рівнянь
Об’єм тіла обертання знаходиться за формулою
19.Швидкості зміни витрат і доходу підприємства після початку його діяльності визначались формулами:
Розв’язування. Оптимальний час Отже, підприємство було прибутковим 1 рік. За цей час одержано прибутку: 20.Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціальних рівнянь та розв’язати задачу Коші для тих рівнянь, де вказані початкові умови. а) Розв’язування. а) Сталу записали у вигляді б) Підставивши початкові умови, знайдемо При такому С маємо розв’язок задачі Коші, що задовільняє даній умові: в) Робимо заміну Прирівнюємо до нуля вираз в дужках Розв’язуємо диференціальне рівняння: Розв’язок підставимо в рівняння (2): Розв’язуємо одержане рівняння: ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|