Здавалка
Главная | Обратная связь

Геометрический смысл дифференциала.



Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции.

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной. График

Связь дифференцируемости с существонием производной

Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в точке x=x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

1.(15) Необходимость.

Дано: Dy=ADx+a(Dx)Dx,

Док-ть; .

Док-во:

Достаточность.

Дано: .

Док-ть: Dy=ADx+a(Dx)Dx,

Док-во:

∆y = ∆x·f´(∆x)+α(∆x)·∆x

Возрастание, убывание функции. Теорема о достаточном условии монотонности функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей [убывающей] на интервале (a;b), если из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)>f(x1) [f(x2)<f(x1)] при условии, что (x1;x2)Ì(a;b).

 

Если функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ‘(x)>0 [f ‘(x)<0] на этом интервале, то эта функция возрастает [убывает] на этом интервале.

Доказательство:

Возьмем две произвольные точки: x1,x2Î(a;b);

x0Î(a;b), x2>x1.

Рассм. отрезок [x1,x2]. На нем функция y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа.

По теореме Лагранжа найдется xÎ(x1;x2), что выполняется равенство f(x2)-f(x1)=f ‘(x)(x2-x1).

1) f ‘(x)>0 Þ x2-x1>0 ; f ‘(x)>0 Þf(x2)-f(x1)>0

f(x2)>f(x1).

2) f ‘(x)<0

f ‘(x)<0

x2-x1>0,Þf(x2)-f(x1)<0

f(x2)<f(x1)

 

Определение максимума и минимума. Док-во необходимого условия экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x0, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x0)>f(x) [f(x0)<f(x)].

 

Если функция y=f(x) имеет в точке x=x0 экстремум, то ее производная в этой точке равна 0 или не существует.

Дано: x=x0 -точка максимума.

Док-ть: f ‘(x0)=0.

Док-во:

(для минимума - по аналог. док-ву)

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.