 |
|
Что получается в результате раскрытия определителя?
В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор.
Пример 6
Найти векторное произведение векторов 
и его длину.
Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), а во-вторых – его длину.
1) Найдём векторное произведение:
В результате получен вектор 
, или, ещё можно записать 
.
Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор 
должен быть ортогонален векторам 
. Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощью скалярного произведения:
Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.
2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников:
Ответ: 
В плане технических обозначений здесь, наоборот, вместо громоздкой конструкции 
выгодно использовать букву , поскольку она сокращает запись
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Даны векторы 
. Найти 
и вычислить 
.
Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны!
Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:
Пример 8
Даны вершины треугольника 
. Найти его площадь.
Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:
Затем векторное произведение:
Вычислим его длину:
Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:
Ответ: 
Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны 
. Решение также допустимо провести через векторы 
либо 
. Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.
Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить 
, то получим противоположно направленный вектор 
, но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах №№6,7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.
Пример 9
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, если 
Это пример для самостоятельного решения.
В заключение первого раздела рассмотрим обещанную задачу урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а) 
б) 
Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): 
.
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы 
не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Значит, 
Ответ: а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.