 |
|
Смешанное произведение векторов
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов 
,взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис 
правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны.
С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарность векторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов).
2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении 
, как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт:смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: 
. В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через 
, а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число 
равно объему данного параллелепипеда.
Примечание: чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму 
может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: 
.
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :
Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.
В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:
В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.
Смешанное произведение компланарных векторов
Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такоговырожденного параллелепипеда равен нулю: 
.
Немного отвлекусь от темы, возможно, не все знают ответы на следующие вопросы:
– Чему равны длина и ширина точки?
– Чему равна площадь прямой?
– Чему равен объём плоскости?
С позиции геометрии ответ таков: нулю