 |
|
Моделей і обґрунтування їх вибору
Вид аналітичної функції, за допомогою якої визначають тенденції розвитку у рядах динаміки, залежить від характеру коливань значень ознаки.
1. Якщо показники динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, без різких коливань, більш-менш рівномірно, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням прямої лінії.
При використанні прямолінійного тренду ŷt = а0 + а1tпараметри а0 і а1можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь:
nа0 + а1∑t = ∑y;
а0∑t + а1∑t² = ∑ yt
за формулами: 
;
.
На основі даних таблиці 2 визначимо значення параметрів рівняння:
Рівняння прямолінійного тренду прийме вигляд:
ŷt = 27,15 – 0,32t.
Отже, щорічно урожайність в середньому знижувалась на 0,32 ц/га. Підставляючи відповідне даному рокові значення t, визначаємо розрахункові значення ŷt (див. табл. 2.)
Для першого року: у1 = 27,15 – 0,32∙1 = 26,8 (ц/га);
Для другого року: у2 = 27,15 – 0,32∙2 = 26,5 (ц/га)
або 26,8 +(– 0,32) = 26,5 (ц/га) і т.д.
2. Якщо зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням квадратичної параболи.
Для розрахунку параметрів параболічного трендуŷt = а0 + а1 t + а2 t²складаємо систему нормальних рівнянь:
nа0+ а1∑t + а2 ∑t2 = ∑у;
а0∑t + а1∑t2 + а2∑t³ = ∑ yt;
а0∑t2 + а1∑t³ + а2∑t 
= ∑ yt2
Таблиця 2
Матеріали до розрахунку трендових рівнянь урожайності зернових
| Вихідні дані | Елементи для розрахунку параметрів трендових рівнянь | |||||||||||
ŷ  = а0 + а1t
| ŷ =а0 + а1t + а2t²²
| |||||||||||
| Рік | Урожай-ність, ц/га (у) | t | t2 | yt | Розрахункове значення ( ŷ )
| t | t2 | t³ | t4 | yt | yt2 | Розрахункове значення ( ŷ )
|
| 30,5 | 30,5 | 26,8 | 30,5 | 30,5 | 26,9 | |||||||
| 18,0 | 36,0 | 26,5 | 36,0 | 72,0 | 26,5 | |||||||
| 29,1 | 87,3 | 26,2 | 87,3 | 261,9 | 26,2 | |||||||
| 28,1 | 112,4 | 25,9 | 112,4 | 449,6 | 25,8 | |||||||
| 30,9 | 154,5 | 25,6 | 154,5 | 772,5 | 25,5 | |||||||
| 17.7 | 106,2 | 25,2 | 106,2 | 67,2 | 25,1 | |||||||
| 26,8 | 187,6 | 24,9 | 187,6 | 1313,2 | 24,8 | |||||||
| 22,0 | 176,0 | 24,6 | 176,0 | 1408,0 | 24,5 | |||||||
| 27,5 | 247,5 | 24,3 | 247,5 | 2227,5 | 24,3 | |||||||
| 23,0 | 230,0 | 24,0 | 230,0 | 2300,0 | 24,0 | |||||||
| ∑ | 253,6 | 1368,0 | 254,0 | 1368,0 | 9472,4 | 253,6 |
Таблиця 3
Варіанти для розрахунку відхилень (ŷ -y)² по рівняннях тренду
| Рік | Для ŷ = 27-0,32t
=а0 + a1 t
| Для ŷ = 27,34-0,418t+0,0083t²
| ||||||
| y | ŷ
| ŷ – y
| (ŷ -y)²
| y | ŷ
| ŷ – y
| (ŷ -y)²
| |
| 30,5 | 26,8 | -3,7 | 13,69 | 30,5 | 26,9 | -3,6 | 12,96 | |
| 18,0 | 26,5 | 8,5 | 72,25 | 18,0 | 26,5 | 8,5 | 72,25 | |
| 29,1 | 26,2 | -2,9 | 8,41 | 29,1 | 26,2 | -2,9 | 8,41 | |
| 28,1 | 25,9 | -2,2 | 4,84 | 28,1 | 25,8 | -2,3 | 5,29 | |
| 30,9 | 25,6 | -5,3 | 28,09 | 30,9 | 25,5 | -5,4 | 29,16 | |
| 17,7 | 25,2 | 7,5 | 56,25 | 17,7 | 25,1 | 7,4 | 54,76 | |
| 26,8 | 24,9 | -1,9 | 3,61 | 26,8 | 24,8 | -2,0 | 4,00 | |
| 22,0 | 24,6 | 2,6 | 6,76 | 22,0 | 24,5 | 2,5 | 6,25 | |
| 27.5 | 24,3 | -3,2 | 10,24 | 27,5 | 24,3 | -3,2 | 10,24 | |
| 23,0 | 24,0 | 1,0 | 1,00 | 23,0 | 24,0 | 1,0 | 1.00 | |
| ∑ | 253,6 | 254,0 | х | 205,14 | 253,6 | 253,6 | х | 204,32 |
Підставляємо розрахункові дані в систему нормальних рівнянь (див. табл. 2).
10а0+55а1+385а2 = 253,6;
55а0+385 а1+3025а2 = 1368,0;
385а0+3025 а1+25333а2 = 9472,4.
Ділимо всі коефіцієнти в рівняннях на відповідні коефіцієнти при а0 :
а0 + 5,5а1 + 38,5а2 = 25,36;
а0 + 7,0а1 + 55,0а2 = 24,87;
а0 + 7,86а1 + 65,8а2 = 24,6.
Віднімаючи від другого рівняння перше, а від третього – друге, отримуємо два рівняння з двома невідомими:
1,5а1 + 16,5а2 = – 0,49;
0,86а1 + 10,8а2 = – 0,27.
Ділимо кожну складову цих рівнянь на відповідні коефіцієнти при а1 і віднімаємо від другого рівняння перше.
а1 + 11а2 = – 0,327;
а1 + 12,558а2 = – 0,314.
1,558а2 = 0,013
Звідки а2 = 0,0083.
Методом підстановки отримуємо параметри а0 та а1:
а1 = – 0,327 – 11∙0,0083 = – 0,418;
а0 = 25,36 – 5,5 ∙(– 0,418) – 38,5∙ 0,0083 = 27,34.
Отже, рівняння параболічного тренду має вигляд:
ŷt = 27,34 – 0,418t + 0,0083t2
Це означає, що в році, який передує початку досліджень, вирівняна урожайність зернових культур складала 27,34 ц/га, початкова швидкість зниження урожайності – -0,418 ц/га, а прискорення зміни щорічних приростів – 0,0083 ц/га.
Підставляючи в отримане рівняння відповідні значення t, визначаємо розрахункові значення показника для кожного року:
ŷ1=27,34 – 0,418∙1 + 0,0083∙1 = 26,9 (ц/га);
ŷ2 =27,34 – 0,418∙2 + 0,0083∙4 = 26,5 (ц/га);
ŷ3 =27,34 – 0,418∙3 + 0,0083∙9 = 26,2 (ц/га) і т.д.
Розрахункові значення показників наведені в таблиці 2. Близькість розрахункової і фактичної суми у (відповідно 254,0 і 253,6) є критерієм правильності проведених розрахунків.
Для обґрунтування вибору трендового рівняння визначимо квадрати відхилень фактичних рівнів від розрахункових (див. табл. 3). Порівняльний аналіз одержаних даних показує, що для трендового моделювання більш обґрунтованим є рівняння параболічного тренду, оскільки сума квадратів відхилень розрахункових значень від фактичних в даному випадку найменша (204,32<205,14).
Рис. 1. Аналітичне вирівнювання урожайності зернових культур
Для екстраполяції (прогнозування) показників на наступні періоди у рівняннях тренду змінюють порядковий номер року та розраховують ŷ .
Так, для 11-го року дослідження при використанні рівняння параболічного тренду отримаємо:
у11 = 27,34 – 0,418 
+ 0,0083 2 = 23,7 (ц/га).