 |
|
Формула размещений без повторений
Основные правила и формулы комбинаторики
Основные правила комбинаторики
Во многих случаях для того, чтобы подсчитать число всех возможных исходов опыта, нужно перебрать огромное количество вариантов. Чтобы формализовать эту задачу и правильно подсчитать общее число опытов используют комбинаторные формулы.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из конечного множества данных объектов.
При выводе комбинаторных формул руководствуются двумя правилами.
1) Правило суммы.
Если объект 
можно выбрать 
способами, а объект B – k способами, то объект либо , либо 
можно выбрать 
способами.
Пример. В корзине лежат белые, синие и красные шары. Если синих шаров 5, а красных – 7, то цветной шар (либо красный, либо синий) можно выбрать 7 + 5 = 12 способами.
2) Правило произведения.
Если объект можно выбрать способами, а объект – 
способами, то пару 
можно выбрать 
способами.
Пример. Подарочный набор состоит из флакона духов и помады. Имеются духи трех видов, помада — пяти тонов. Сколько различных наборов можно составить? Так как каждый из трех видов духов можно дополнить помадой 5 цветов, то всего получится 
вариантов подарочных наборов.
Теперь перейдем к рассмотрению и подсчету числа различных комбинаций.
Формула размещений без повторений
Размещения без повторений получаются по следующей схеме. Имеется n различных предметов. Из них выбирают 
предметов так, что меняется и состав выбранных предметов и порядок их расположения относительно друг друга. Представить такую ситуацию можно следующим образом. Рисуем ряд из клеток
| .......... | m |
Берем произвольный предмет из 
имеющихся и помещаем в первую клетку (это можно сделать способами), затем берем любой из оставшихся 
предметов и помещаем во вторую клетку ( способами). Значит, по правилу произведения, пару — первую и вторую клетку — можно заполнить ( ) способами. Рассуждая аналогично, найдем, что число способов разместить предметов из в клетках — число размещений из по обозначаемое 
, равно
.
Используя обозначения 
и 
формулу для размещений можно переписать по-другому:
.
Пример. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, решили провести выборы городского начальства: мэра, вице-мэра, казначея, полицмейстера. Договорились, что каждый коротышка может претендовать на любой пост, но может быть выбран только на один пост. Сколькими способами можно выбрать городское начальство, если в городе 100 коротышек?
В этой задаче = 100, = 4. Первый пост – мэра, может занять любой из 100 жителей, вице-мэром может стать любой из оставшихся 99, казначеем – один из 98, и, наконец, полицмейстером любой из 97. Всего способов выбрать начальство:
.