Главная | Обратная связь

Поток векторного поля.

Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например, ) называют поверхностный интеграл вида

(1.10)

 

 

 

 

Рис. 1.1

 

Изменение массы объема происходит за счет вытекания(втекания)

jdS

Изменение массы можно выразить через изменение объема

r

Изменение массы в объеме эквивалентно потоку жидкости, покидающему объем через поверхность, ограничивающую объем

Интегральный баланс имеет вид

 

(1)

рассмотрим баланс для элемента объема

 

 

 

dv = dxdydz

–элементарный объем

Определим суммарный поток через поверхность как сумму элементарных потоков

Изменение потока вектора а в направлении оси абсцисс

dI = - a_xdydz + a_x+dxdydz

Используем разложение в ряд Тейлора для компоненты вектора адля правой плоскости

a_x+dx = a_x +

подставляя это разложение, получим для изменения потока

dI_s1+s2 =

Аналогично для других плоскостей

dI_s3+s4 =

 

3)

 

I =

I =

=

 

- Теорема Остроградского – Гаусса:

Поток вектора через поверхность равен интегралу по объему от дивергенции этого вектора.

Используя эту теорему и формулу (1), получаем:

 

 

Или в дифференциальной форме

 

 

Для процессов в несжимаемой жидкости

 

;

 

Или

 

Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости

 

 

Гидростатика.

Раздел, изучающий состояние равновесия в жидкости. Рассмотрим столб жидкости и определим распределения давления в столбе по высоте

dz

 

Равенство сил в выделенном элементарном слое имеет вид

1) –p_z+dzS + p_zS - rdVg = 0

Используем разложение в ряд Тейлора

p_z+dz = p_z +

Подставляя разложение в исходное выражение

(–p_z - )S + p_zS - rdVg = 0

после алгебраических преобразований получим

- S -rdVg = 0

Получим дифференциальное уравнение распределения давления в столбе жидкости

=-rg

Начальные условия

z = 0, p = p₀

Разделяя переменные

dp = - rgdz

Интегрируя, получим

Dp = - rgDz

p = - rgz + C, C = p₀

 

p = p₀ - rgz

 

– формула гидростатического давления.

Чем меньше высота столба жидкости, тем меньше давление и наоборот

 

Для столба газа справедливо уравнение состояния идеального газа

2)

Или иначе

Тогда гидростатическое уравнение будет иметь вид

иначе

dp = -apdz

разделяя переменные и интегрируя

Получим после интегрирования

ln p = -az + ln C

Начальные данные

z = 0, p = p₀

Распределение давления для газового столба имеет вид

Или

 

Уравнение Бернули:

3) Рассмотрим жидкость, на которую действуют силы давления и тяжести.

 

 

Запишем второй закон Ньютона для массы жидкости

Домножая записанное выражение на скорость, будем иметь

Внося скорость под знак дифференциала, получим

 

Левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию массы жидкости, а правая работу совершаемую над жидкостью, действующими на нее силами.

Распишем действующие силы-давления и тяжести как в предыдущем случае

(p_zdS – p_z+dzdS - rgdV) =

разложенеи в ряд Тейлора
p_z+dz = p_z +

Записывая выражение для силы тяжести

F_g = mg = rgdV

С учетом

( dm = rdV )

Тогда выражение для кинетической энергии потока жидкости будет иметь вид

Или вынося знак дифференциала

Что означает постоянство энергии для массы жидкости в единице объема

- уравнение Бернулли

Применим это уравнение к крылу самолета. Учтем, что уровень крыла над землей практически не меняется по ширине крыла. Профиль крыла предусматривает, что путь, пройденный по верху крыла больше, чем путь для воздуха, пройденный под нижней кромкой крыла. Уравнение неразрывности выполняется. Если одно и то же количество газа прошло у крыла и снизу и сверху одно и то же, а путь разнится, то скорости потока вверху и внизу отличаются, а, следовательно, отличаются давления. Применим уравнение Бернулли. Очевидно, что будет существовать разность давлений вверху и внизу – это подъемная сила.