Главная | Обратная связь

Импульс и энергия в релятивистской механике

 

Закон сохранения импульса — один из основных законов природы; он отражает однородность пространства. В мире Минковского однородность пространства сохраняется. Видимо, должен быть по-прежнему справедлив закон сохранения импульса в замкнутой системе. Однако это требует определенной корректировки выражения для импульса тела.

Рассмотрим частный случай. Два одинаковых тела (масса каждого равна m) движутся навстречу друг другу, имея, с точки зрения некоторой системы отсчета К, равные скорости. Следовательно,

 

v_xA = -v_xB, и v_yA = -v_yB.

 

Пусть при столкновении тела объединяются в единое целое («слипаются»).

В соответствии с законом сохранения импульса образовавшееся тело должно покоиться. В частности, его координата у теперь должна быть неизменной. В любой другой системе К' события в которой связаны с событиями в системе К преобразованиями (10.9), координата у' тоже должна стать постоянной.

Рассмотрим ситуацию до столкновения в системе К'. Согласно формулам

преобразования скоростей (10.13), получаем

 

,

 

Модули у-составляющих скоростей теперь оказываются различными, и если сохранить классическое выражение для импульса, в частности,

р_у = mv_y,

 

суммарная у-составляющая импульса двух частиц не равна нулю.

Тогда после «слипания» образовавшееся тело должно иметь отличную от нуля составляющую скорости по оси у. Видимо, надо изменять выражение для импульса тела.

Для того, чтобы догадаться, как именно надо менять это выражение, рассмотрим следующую процедуру. Установим на каждом из тел часы. Они будут показывать собственное время данного тела. Теперь будем фиксировать координату тела у в различных системах и отмечать собственное время to, которое соответствует этому значению у. Запишем «гибридную» скорость

v_y* = dy/dt₀.

Так как координата у не преобразуется при переходе от системы к системе, а время мы фиксируем по собственным часам тела, во всех системах мы должны получить одно и то же значение v_y*. Мы знаем,

что промежутки времени по часам системы, в которой тело движется (dt),

и промежутки, отсчитанные по собственным часам (dt₀), связаны соотношением (10.11). Применительно к нашему случаю —

dt₀ = dt/γ.

Следовательно, во всех системах величина

γ dy/dt = dy/dt₀

будет иметь одно и то же значение. Ясно, что равенство не нарушится, если обе его части умножить на одну и ту же величину m. Применительно к нашей задаче (о «слипании» двух тел) это означает, что комбинации

γmv

у двух частиц будут равными по модулю в любой системе отсчета.

Естественно именно эту величину принять за у-составляющую импульса.

Обобщая, определим релятивистский импульс выражением

 

(10.15)

 

где v — скорость тела в системе, в которой мы вычисляем импульс.

Опыт показывает, что определенный таким образом импульс обладает основными свойствами, присущими величине mv в механике Ньютона: он сохраняется в замкнутых системах тел, а скорость его изменения равна силе, действующей на тело. Силу при этом следует определять в соответствии с (5.25):

F = -∆U.

При v/c << 1 выражение (10.15) переходит в обычное нерелятивистское определение импульса. Тем самым соблюдается принцип соответствия, за выполнением которого следует внимательно следить при любом расширении физических понятий. (Мы уже касались этого вопроса в связи с законом сохранения энергии).

Для работы силы, то есть для изменения кинетической энергии тела, сохраняется выражение

 

δA = dT = Fδr = Fvdt, где F = р'=dp/dt.

 

Ограничиваясь случаем действия силы вдоль направления скорости, с учетом (10.15) получаем

 

dT = m γ³ vа dt = mγ ³v dv.

 

Тогда для кинетической энергии имеем

 

(10.16)

Выражение (10.16) трактуется так: энергия тела

 

Е = γmc²

слагается из кинетической энергии и энергии покоя

E₀ = mc².

Закон сохранения энергии справедлив именно для величины Е. Это верно как в случае упругих, так и неупругих взаимодействий, когда потери кинетической энергии компенсируются ростом энергии покоя взаимодействующих частиц или энергией частиц, излучаемых при взаимодействии, например, фотонов. В более общем случае, при рождении в процессе взаимодействия массивных частиц, необходимо, конечно, учитывать и кинетическую энергию и энергию покоя всех частиц как до взаимодействия, так и после него.

Такие понятия, как потенциальная энергия или энергия связи, в релятивистском представлении включаются в энергию покоя.

Для энергии с помощью формулы (10.15) можно получить соотношение

 

Е² = (рс)² + (mc²)² . (10.17)

 

Связь импульса с энергией принимает вид

 

р = Еv/с² . (10.18)

 

Введя обозначения

М = mс², Р = рс, β = v/c,

мы можем записать соотношения между массой, импульсом и энергией в несколько более компактной

форме:

 

М² + Р² = Е²;

 

Р = Еβ;

 

Р = mγc²β = Mγβ.

 

Фактически эта форма соответствует неявному введению системы единиц, в которой

с = 1,

а масса, импульс и энергия измеряются в одинаковых единицах; например, в ядерной физике в качестве такой универсальной единицы измерения массы, импульса и энергии обычно используется электронвольт:

1 эВ = 1,6 • 10^-19 Дж = 1,6 • 10^-12 эрг.

Комбинация

Е² - Р² = М²

очевидным образом является инвариантом, т. е. не зависит от системы отсчета для отдельно взятой частицы. Менее очевидно, что такая комбинация — инвариант и для совокупности частиц.

Доказательство этого утверждения не представляет особых трудностей, но достаточно громоздко. Между тем, обратим внимание на тот факт, что «тела» состоят из движущихся друг относительно друга (хотя бы в процессе колебаний) атомов, атомы — из ядра и электронов, и даже протоны или пионы — из кварков и антикварков. А в отношении этих, строго говоря, систем или совокупностей частиц мы без малейшего сомнения уверены в инвариантности величины Е² - Р². Использование этого обстоятельства помогает

упростить решение многих задач.

Поскольку определение (10.15) и соотношения (10.16)—(10.18) оказываются в хорошем согласии с экспериментом, мы можем сделать еще один важный вывод: из вещественности физических величин р л Е следует, что скорость любого физического тела не может превышать скорости света.

Если же частица (фотон, нейтрино) движется именно со скоростью с, из (10.15), A0.16) вытекает, что масса такой частицы (более строго, энергия покоя) должна быть равна нулю, а двигаться она может исключительно со скоростью света. Релятивистская динамика по мере развития дает дополнительные аргументы в пользу таких заключений, но уже сейчас можно сказать, что все они подтверждены прямыми экспериментами.

 

 

Принцип относительности Галилея касается только механики. Опыт показывает, что этот принцип можно обобщить на все природные явления.

Для математического описания какого-либо явления необходимо выбрать некоторую систему отсчета. Затем, используя определенные в выбранной системе отсчета координаты и время, необходимо записать уравнения, выражающие физический закон, которому подчиняется рассматриваемое явление. Наиболее простой вид эти уравнения имеют в инерциальной системе отсчета. Согласно обобщенному принципу относительности вид уравнений, выражающий законы природы одинаков во всех системах отсчета, то есть не меняются их уравнения, которые описывают эти законы.

Экспериментально установлено, что свет в пустом пространстве распространяется со скоростью не зависящей от выбора системы отсчета.

По Галилею скорости складываются или вычитаются и для движущейся в направлении распространения света системы отсчета скорости при сложении дадут результат превышающий по величине скорость света.

Таким образом, существует несоответствие между принципо Галилея и постоянствосм скорости света. Чтобы разрешить это несоответствие и появилось иное представление об относительности.

Все события во Вселенной, которые когда-либо происходили или будут происходить, образуют пространственно-временное многообразие, которое называется пространством-временем, или пространством Минковского(Герман Минковский(1864-1909)-немецкий ученый). Для определения точечного события необходимо указать его место и время, т.е. задать его координаты относительно некоторой системы отсчета и момент времени, когда оно произошло или произойдет. Другими словами, для определения точки в пространственно-временном многообразии необходимо задать четыре величины-три координаты и время. Поэтому пространственно-временное многообразие называется четырехмерным. Каждой точке А пространственно-временного многообразия, т.е. каждому точечному событию ставят четверку чисел. Эти величины не имеют физического смысла и являются просто «номерами» пространственно-временных точек до тех пор, пока не определены физические операции, при помощи которых каждому точечному событию можно приписать три пространственные координаты и момент времени. иначе говоря, должен быть указан способ измерения этих величин.

Для измерения координат и времени какого-либо события в распоряжении физика-экспериментатора, производящего такие измерения, должны находиться определенные приборы и измерительные инструменты. Все это оборудование называется обобщенно системой отсчета, а работающий на этом оборудовании экспериментатор-наблюдателем, находящимся в данной системе отсчета. Основными приборами из имеющегося в распоряжении экспериментатора-наблюдателя оборудования являются жесткие стержни, посредством которых строится декартова прямоугольная система координат, и часы. Однако при помощи линеек и часов наблюдатель может определить координаты и время только тех событий, которые происходят в непосредственной близости от него. Поэтому время, отсчитываемое часами данного наблюдателя, называется местным временем, или собственным временем наблюдателя.

Для определения координат и времени удаленных от наблюдателя событий удобно применять радиолокационный метод. Наблюдатель посылает короткие световые сигналы в направлении места, в котором происходят интересующие его события. Для того, чтобы наблюдатель мог получить информацию с места событий, там должен находиться отражатель, сразу же возвращающий назад падающий на него сигнал. Наблюдатель по своим часам отмечает момент времени τ₁ отправления светового сигнала и момент времени τ₂ приема соответствующего ему отраженного сигнала. Используя значения τ₁ τ₂ собственного времени, событию, которое произошло в момент отражения светового сигнала, можно приписать следущие значения расстояния до наблюдателя и времени t

Существование любого тела представляет собой непрерывную последовательность происходящих с этим телом событий. Если какое-либо тело можно рассматривать как материальную точку, то и события, с ним происходящие, также будут точечными. Все эти события образую линию в 4-мерном пространственно-временном многообразии, которая называется мировой линией рассматриваемой частицы. Параметрическое уравнение мировой линии можно записать как зависимость радиуса-вектора точки от времени r(t).

Ось времени, уравнение которой r(t) =0, есть мировая линия наблюдателя. При этом из формул

r=0.5c(τ₂ – τ₁)

t= 0.5(τ₁ + τ₂) = τ₁ +0.5(τ₂ - τ₁)

Формулы дают наиболее простое и естественное представление расстояния от наблюдателя до наблюдаемого им события А. В самом деле, если время распространения светового сигнала к месту события и обратно равно

∆τ = τ₂ - τ₁

2r =c∆τ

 

Относительность одновременности событий

В механике Ньютона одновременность двух событий абсолютна и не зависит от системы отсчёта. Это значит, что если два события происходят в системе K в моменты времени t и t₁, а в системе K’ соответственно в моменты времени t’ и t’₁ , то поскольку t=t’, промежуток времени между двумя событиями одинаков в обеих системах отсчёта

В отличие от классической механики, в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.

Системы отсчёта, в которых справедлив закон инерции (первый закон Ньютона) называют инерциальными системами отсчёта На рисунке (см. ниже) расположена схема эксперимента, который это иллюстрирует. Система отсчета K связана с Землёй, система K’ — с вагоном, движущимся относительно Земли прямолинейно и равномерно со скоростью v. На Земле и в вагоне отмечены точки А, М, В и соответственно А’, M’ и В’, причем АМ=МВ и А’M’=M’B’. В момент, когда указанные точки совпадают, в точках А и В происходят события — ударяют две молнии. В системе К сигналы от обеих вспышек придут в точку М одновременно, так как АМ=МВ, и скорость света одинакова во всех направлениях. В системе К’, связанной с вагоном, сигнал из точки В’ придет в точку M’ раньше, чем из точки А’, ибо скорость света одинакова во всех направлениях, но М’ движется навстречу сигналу пущенному из точки B’ и удаляется от сигнала, пущенного из точки А’. Значит, события в точках А’ и B’ не одновременны: события в точке B’ произошло раньше, чем в точке A’. Если бы вагон двигался в обратном направлении, то получился бы обратный результат.

Понятие одновременности пространственно разделенных событий относительно. Из постулатов теории относительности и существования конечной скорости распространения сигналов следует, что в разных инерциальных системах отсчёта время протекает по-разному.

 

Постулаты Эйнштейна

(принцип относительности)

1й постулат. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета( уравнения, выражающие законы природы инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной системы отсчета к другой)

(обобщение механики относительности Галилея на всю природу)

2й постулат. Свет распространяется со скоростью с = сonst, не зависит от состояния движения излучающего тела.

 

Скорость света во всех системах отсчета постоянна.

c = 3*10⁸ м/c

По Галилею:

x^/ = x + vt ; y = y^/; z = z^/. t = t^/.

Отсчет времени в обеих системах с момента, когда начала систем О и О^/ совпадали. Пусть в момент t = t^/ =0 из совпадающих начал послан световой сигнал по всем направлениям. К моменту t сигнал в К достигнет точек, отстоящих от О на растоянии ct.

 

Координаты радиуса-вектора в трехмерной системе координат

r² = x² + y² + z²

Если при t = 0 запускаем световой сигнал со скоростью света c; ct – расстояние, которое пройдет свет в системе k и окажется в точки с координатами r.

Квадрат радиуса будет иметь вид

r² = x² + y² + z² = c²t²; координаты точек удовлетворяют уравнению

Аналогично в системе k^/:

 

(x^/)² + (y^/)² + (z^/)² = c²(t^/)²

Уравнения имеют одинаковый вид в обеих системах отсчета

c²t² - x² + y² + z² = 0

c²(t^/)² - (x^/)² + (y^/)² + (z^/)²=0

если подставить преобразования Галилея в эти уравнения, то убеждаемся, что эти преобразования не совместимы с принципом постоянства скорости света.

Уравнения Ньютона удовлетворяют преобразованиям Галилея(инвариант)

Уравнения Максвелла не удовлетворяют преобразованиям Галилея. Эйнштейн определил преобразования релятивистской механики на основе постулатов.

Интервал

Событие определяется местом(координаты и время)

Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой

А линия, описывающая положение точки – мировая линия.

x₀² – x₁² – x₂² – x₃² = 0 - четырехмерие.

световой конус будущего

область абсолютно удаленных от А событий

(за пределами конуса

 

 

световой конус прошлого

На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого

 

Линия, которую описывает частица, называется мировой.

А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.

Событие – следствие – это путь в будущее

Событие –причина – это путь в прошлое

Пространство-время – это пространство Минковского.

Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.

Пусть событие – Если свет в момент t₁ из точки с координатами (x₁, y₁, z₁ ), а в момент t₂ частица имеет координаты (x₂, y₂, z₂ ), то в системе между координатами и временем имеем соотношение

c²(t₂ - t₁)² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

расстояние(интервал) между точками

l² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² .

по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве

(s₁₂)² = c²(t₂ - t₁)² - (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² - 4–интервал - четырех-интервал

Квадрат интервала

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl²

dl² = dx² + dy² + dz² – inv (инвариант).

Интервал в любой СО является инвариантом.

Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl² =0

Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К' систем отсчета. Если ds = 0, то и ds' = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь

В системах k и k^/ интервалы связаны неким линейным соотношением.

ds = ads^/;

 

Или наоборот

ds^/ = ads;

Перемножая

dsds^/ = a² ds^/ds; откуда

a = ⁺_-1;

Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то

a = 1.

ds = ds^/

- инвариантны, что и требоалось доказать.

Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.

Используя инвариантность интервала, запишем

ds² = c²d t² - dl² = c²d( t^/) ² – d(l^/)²

Пусть ds² > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К' где dl^/ = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К' dt^/ = ds/c.

Вещественные интервалы--временеподобные

ds² > 0 - временеподобный интервал.

Если ds² < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К' , в которой d t^/ = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К'

dl' = iDs - расстояние между событиями.

 

Мнимые интервалы называются пространственноподобными.

ds² < 0 – пространственноподобный интервал. DS² < 0

События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.

Поскольку

V_част < C

и пройденое расстояние Dl < ct, отсюда ds² > 0.

Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.

Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К' , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет

dt' =ds/c.

Где dt' – измерен по часам в системе К', движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать

dt = ds / c

Поскольку ds – инвариант, а с=const, то dt - инвариант.

Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К

dt² = c²d t² - dl²/ c² = (c² - dl²/ d t²) d t / c²

Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость

(dl /dt ) gV

Получим для квадрата времени

dt² = (1- V²/c²)dt²

dt = dt √(1- V²/c²)

Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)

Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.

 

Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.

 

c²T² = V² T² + t² c²

Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.

t² = c²T² - V² T²/ c² = T²( 1 - V²/c²)

V = const

Если же скорость изменяется (V = var ):

t = _t1∫^t2 ( 1 - V²/c²)^1/2 dt