 |
|
Основные операции алгебры высказываний.
Инверсия (логическое отрицание) - присоединение частицы «не» к сказуемому данного простого высказывания или присоединение слов «неверно что. . .» ко всему высказыванию.
Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Дизъюнкция (логическое сложение) - соединение двух высказываний а и в в одно с помощью союза «или», употребляемого в неисключающем виде.
Дизъюнкция двух логических высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Конъюнкция (логическое умножение) - соединение двух высказываний А и В в одно с помощью союза «и».
Конъюнкция двух логических высказываний истинна тогда и только тогда,
когда оба высказывания истинны.
Импликация - логическая операция, соответствующая союзу «если ... , то...»
Импликация высказываний ложна лишь в случае, когда а истинно, а в ложно.
Эквиваленция - логическая операция, соответствующая союзу «тогда и только тогда, когда …».
Эквиваленция двух высказываний истинна в том и только том случае, когда оба эти высказывания истинны или ложны.
Приоритет логических операций:
· инверсия;
· конъюнкция;
· дизъюнкция;
· импликация и эквивалентность.
| Логическая операция | Обозначения | Эквивалент в русском языке |
| Инверсия (логическое отрицание) | НЕ, NOT, Ø, 
| не; неверно, что ... |
| Конъюнкция (логическое умножение) | И, AND, Ù, &, • , Ç | и; а; но |
| Дизъюнкция (логическое сложение) | ИЛИ, OR, Ú, +, ï, È | Или; Либо…, либо … Или…, или… |
| Импликация (логическое следование) | ®, Þ, É | если ..., то ...; из ... следует ...; ... достаточно для ...; для ... , необходимо ... |
| Эквиваленция (логическое равенство) | «, Û, º, ~ | ... если и только если ...; ... тогда и только тогда, когда ...; … в том и только в том случае, когда ...; необходимо и достаточно |
Основные законы логики. Таблицы истинности
Основные понятия математической логики
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними [4].
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].
Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.
Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):
Таблица 1. Примеры логических выражений
| Предложение | Характеристика с точки зрения алгебры логики |
| Иваново – Родина Первого Совета | Истинное логическое высказывание |
| За зимой наступит весна | Истинное логическое высказывание |
| В городе Иваново проживают только граждане России | Ложное логическое высказывание |
| После дождя всегда тепло | Ложное логическое высказывание |
| После вторника будет выходной | Не является логическим высказыванием, т.к. не известно, о каком человеке, каком месяце и дне идет речь (если у человека текущий график работы, возможно, что у него в среду будет выходной, в противном случае среда – рабочий день; если в среду будет праздничный день, например, 8 марта, то этот день также будет выходным) |
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок – называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.
Для обозначения логических высказываний, им назначают имена. Например, если А – высказывание «В четверг был дождь», В – высказывание «В пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в пятницу было солнечно», можно записать в виде: А и В.
Здесь А, В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и – логическая связка.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2):
Таблица 2. Логические связки
| № | Логическая связка | Название | Обозна-чение | Высказы-вание | Математическая запись |
| и | конъюнкция логическое умножение | Ù, & *, And | A и В | A Ù B, A & B A * B, A And B | |
| или | дизъюнкция логическое сложение | Ú +, Or | A или В | A Ú B A + B, A Or B | |
| не | инверсия, логическое отрицание | ,  ,
Not
| не А | А, ,
Not A
| |
| Если…то | импликация, логическое следование | →, Þ | Если A, то В | A → B A Þ B | |
| тогда и только тогда | эквивалентность, равносильность, логическое тождество | «, º Û, ~ | А тогда и только тогда, когда В | А«В, АºВ АÛВ, А~В |
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: A → B = А Ú B (1)
Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: A « B = (А Ú B) Ù (B Ú А) (2)
Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.
Таблица 3. Таблица истинности
| A | B | A Ú B | A Ù B | A |
Таблица 4. Приоритет выполнения логических операций
| Приоритет операции | Логическая операция |
| Первый (высший) | Логическое отрицание |
| Второй | Конъюнкция (логическое умножение) |
| Третий | Дизъюнкция (логическое сложение) |
| Четвертый | Импликация (следование) |
| Пятый (низший) | Эквивалентность (равносильность) |
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 3
1. Даны множества: А={3,5,7}и В={0,3,5,7,8}Найдите пересечение множеств А и В.
A){3,5,7};
B) {3,5};
C){0,8};
D){0,3,5,7,8};
E){7,8}.
2. Даны множества: А={4,6,8,10}и В={7,8,9,10,11}.Найдите объединение множеств А и В.
A) {7,8,9,10,11};
B) {4,6,8,10};
C){4,6,8,10,7,9,11};
D) {8,10};
E) {4,6,8,10,7,8,9,10,11}
3. Даны множества: А={1,2,3,4,5} и В={1,3,5}.Найдите множество .
A) {1,2,3,4,5};
B) {1,3,5};
C) {2,4};
D) {1,2,3,4,5,1,3,5};
E) {4,5}.
4. Логическое отрицание называется ...
A) импликация
B) дизъюнкция
С) эквивалентность
D) конъюнкция
E) инверсия
5. Логтческое умножения – это
A) дизъюнкция
B) импликация
C) инверсия
D) конъюнкция
E) эквивалентность
6.Логическое сложение соответствует союзу ...
A) тогда и только тогда, когда если …, то …
B) если …, то …
C) или
D) не
E) и
7. Логическое сложение называется ...
A) Эквивалентность
B) Инверсия
C) Импликация
D) Конъюнкция
E) Дизъюнкция
8. Логическое умножение обозначается ...
A) V
B) <->
C) ->
D) подчеркиванием сверху
E) ^, &
9. Логическое сложение обозначается ...
A) <->
B) ^, &
C) ->
D) V
E) подчеркиванием сверху
10. Логика - это ...
A) Наука о компьютерах
B) Наука о доказательствах
C) Наука о формах и способах мышления
D) Наука о способах моделирования
E) Наука о построении схем