Эквивалентные преобразования схем

Применение законов Ома и Кирхгофа к расчету линейных электрических цепей постоянного тока

Законы Ома

Закон Ома для участка цепи (в пределах ветви) позволяет найти ток участка по известной разности потенциалов (напряжению) на зажимах участка.

̶ Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС (рисунок 1)

Рис.1

̶ Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС (активная ветвь) (рисунок 2).

Рис.2

Если положительные направления напряжения и ЭДС

совпадают с произвольно выбранным положительным направлением тока ветви, то в приведенной формуле они учитываются со знаком плюс, и со знаком минус, если их направления не совпадают с направлением тока.

Задача 1.1.1.Найти ток ветви (рисунок 3), если: U=10 В, E=20 В, R =5 Ом.

а б в г

Рис. 3

Решение:

Так как все схемы рисунка 3 представляют собой активные ветви, то для определения токов в них используем обобщенный закон Ома. Рассмотрим рисунок 3 а: направление ЭДС совпадает с произвольно выбранным условно положительным направлением тока, следовательно, в формуле обобщенного закона Ома величина ЭДС учитывается со знаком «плюс». Направление напряжения не совпадает с направлением тока, и в формуле обобщенного закона Ома величина напряжения учитывается со знаком «минус»:

а)

Аналогично определяются токи в схемах б, в, г рисунка 3:

б)

в)

г)

Задача 1.1.2.Найти напряжение между зажимами ветвей (рисунок 4).

а б в

Рис. 4

Решение:

Участок цепи, изображенный на рисунке 4 а содержит источник ЭДС, т.е. является активным, поэтому воспользуемся обобщенным законом Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах:

U_ba= E – I·R = 150-2·50 = 50 В.

Аналогично определяются напряжения на зажимах участков, изображенных на рисунках 4 б и 4 в.

б)

или

U_ab = IR + E1 – E2 = 1 50 + 150 – 50 = 150 B;

в)

или

U_ab = I× (R1 + R2) + E = 2 (10 + 40) + 100 = 200 В;

Задача 1.1.3.Определить неизвестные потенциалы точек участка цепи (рисунок 5).

а б

Рис. 5

Решение:

Для схемы рисунка 5 а запишем обобщенный закон Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах ветви:

U_ab = I ⋅ R – E1+ E2

Если представить напряжение U_ab как разность потенциалов:

U_ab = j_a - j_b

тогда при известных параметрах цепи, токе и потенциалеj_b определим потенциал j_a:

Эту же задачу можно решить другим способом. Напряжение на зажимах источника ЭДС, без учета внутреннего сопротивления источника, по величине равно E2 и направлено от точки с большим потенциалом (точка c) к точке с меньшим потенциалом (точка b):

и тогда, зная потенциал j_b, определим потенциал точки c:

Потенциал точки d больше потенциала точки c на величину падения напряжения на сопротивлении R:

тогда

Потенциал точки a определяем с учетом направления напряжения на зажимах источника ЭДС E1. Напряжение U_da направлено от точки с большим потенциалом (точка d) к точке с меньшим потенциалом (точка a):

откуда следует, что

или

Рассмотрим решение задачи для схемы рисунка 5 б. При известном потенциале точки c параметрах элементов и токе, определим потенциалы крайних точек участка цепи j_a и j_b. Напряжение на участке b - c, выраженное через разность потенциалов, определим по закону Ома:

откуда следует

Напряжение на участке c−a, равное по величине E, направлено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом:

Задача 1.1.4.В цепи (рисунок 6) известны величины сопротивлений резистивных элементов: R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, входное напряжение U = 100 В и мощность, выделяемая на резистивном элементе с сопротивлением R₁: Р₁= 40 Вт. Определить величину сопротивления резистора R₃

Рис. 6

Решение:

Согласно закону Джоуля-Ленца, мощность на резистивном элементе определяется как P = U⋅I, или, согласно закону Ома:

P = I²⋅R.

По известному значению мощности на резистивном элементе и величине сопротивления этого элемента определим ток в ветви:

По закону Ома напряжение на зажимах определится:

тогда величина сопротивления резистивного элемента:

Задача 1.1.5.Определить показания вольтметров цепи (рисунок 7), если R₁ = 50 Ом, R₂ = 150 Ом, U = 150 В, E = 50 В.

Рис. 7

Решение:

Ток в цепи определим по закону Ома:

Вольтметр V1 показывает напряжение на источнике ЭДС E:

V1 = U_E = E = 50 В.

Вольтметры V₂ и V₄ показывают величину падения напряжения на резистивных элементах R₁ и R₂:

Вольтметр V₃, показывает напряжение на участке 2-1 U₂₁, которое определим как алгебраическую сумма напряжений U_Eи U_R₁:

Задача 1.1.6.Ток симметричной цепи (рисунок 8) I = 2,5 А, R₁ = 2,4 Ом, R₂ = 4,8 Ом, R₃ = 7,2 Ом, внутреннее сопротивлении источника ЭДС E = 0,6 Ом. Определить ЭДС E и мощность источника энергии.

Рис. 8

Решение:

Напряжение на зажимах 1-2 определим по закону Ома для пассивной ветви:

Величину ЭДС источника энергии определим из выражения закона Ома для активной ветви:

или

Мощность, развиваемая источником энергии, определится:

Законы Кирхгофа

П е р в ы й з а к о н К и р х г о ф а является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать, и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю: ΣI_k = 0.

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком, а токи, направленные от узла – с противоположным.

В т о р о й з а к о н К и р х г о ф а является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю.

При обходе замкнутого контура по отдельным участкам потенциал конечного узла этого участка повышается относительно потенциала его начального узла на величину напряжения, если направление обхода противоположно направлению напряжения, и понижается, когда направление обхода контура и направление напряжения совпадают. Поэтому изменения потенциала в замкнутом контуре можно определить суммированием напряжений с учетом их знаков. Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений участков замкнутого контура равна нулю: ΣU_k=0.

При этом напряжения, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура, берутся с положительными знаками, а напряжения, положительные направления которых противоположны направлению обхода – с отрицательными знаками.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура abcda (рисунок 9):

Рис. 9

U_ba +U_bc +U_cd−U_ad = 0

Существует другое определение второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре

ΣI_k ⋅ R_k =ΣE_k.

Падения напряжения входят в сумму со знаком «плюс», если направления тока и обхода контура совпадают, и со знаком «минус» – если не совпадают. Аналогично учитывают знаки, суммируя величины электродвижущих сил источников ЭДС:

Задача 1.2.1.В цепи (рисунок 10) известны значения токов I₆ =2 А, I₂=1,25 А, I₅ =0,8 А; величины сопротивлений R₁=2 Ом, R₂ =3 Ом, R₃=2 Ом, R₄=2 Ом, R₅=5 Ом. Определить напряжение U на входных зажимах цепи, сопротивление R₆ и величину E источника ЭДС.

Рис. 10

Решение:

По закону Ома определим напряжение между узлами 3-2:

U₃₂ = I₅ ⋅ R₅ = 0,8 ⋅ 5 = 4 В.

Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 3:

I₂ - I₄- I₅ = 0

определим ток I4:

Тогда, по закону Ома для ветви с сопротивлением R₄:

откуда выражаем величину E источника ЭДС:

Напряжение U₁₂можно выразить из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура 1-3-2-1:

U₁₃+U₂₃–U₁₂=0

U12 +U32 = I₂×(R₂ + R₃) + U₃₂ =1,25×(3 + 2) + 4 = 10,25 В.

Зная величины напряжения U₁₂и тока I₆, определим величину сопротивления R₆:

Напряжение на входных зажимах цепи определится:

Ток I₁ определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для 1 узла:

или

тогда

U =2,75⋅2+10,25 =15,75 В.

Задача 1.2.2.В цепи (рисунок 11) известны величины сопротивлений резистивных элементов R₁ = 1 Ом, R₂ = 12 Ом, R₃ = 5 Ом, R₄ = 1 Ом, мощность, изменяемая ваттметром P=320 Вт. Определить токи ветвей, напряжение на зажимах цепи.

Рис. 11

Решение:

Из формулы для расчета мощности выражаем ток I₃:

Затем определяем напряжение на зажимах параллельных ветвей:

По закону Ома определяем ток в ветви с сопротивлением R₂:

Значение тока в неразветвленной части цепи определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для узла 1:

Напряжение на входных зажимах цепи можно представить как сумму падений напряжений на сопротивлениях R₁ и R₂:

где

тогда

U = 12 + 48 = 60 В.

Задача 1.2.3.На рисунке 12 показана часть сложной цепи. Задано: I₁ = 3 А, I₂= 2,4 А, E₁= 70 В, E₂= 20 В, R₁= 3 Ом, R₂= 5 Ом. Найти напряжение U_ab.

Рис. 12

Решение:

Уравнение по второму закону Кирхгофа для данного

контура, при выбранном направлении обхода контура, запишется следующим образом:

откуда выражаем напряжение U_ab:

= 20 – 70 – 3·3 + 2,4·5 = –47 В.

Задача 1.2.4.В схеме (рисунок 13) известны: E1=10 В, E2=20 В, E3=30 В, R = 1 Ом, I1 =1 А, I2=2 А. Определить напряжения U₁₂, U₃₄, U₁₃, U₂₄. U₁₄. U₂₃.

Рис. 13

Решение:

Считаем направления обходов контуров совпадающими с направлениями искомых напряжений. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура и выразим напряжения:

контур 1-2-6-5-1

контур 3-4-6-5-3

контур 1-3-5-1

контур 2-4-6-2

контур 1-4-6-5-1

контур 2-3-5-6-2

Задача 1.2.5.Определить показание амперметра (рисунок 14), если U_ab = 107 В, U_bc = –60 В, R₁ = 7 Ом, R₂ = 8 Ом, E₁ = 100 В, E₂ = 70 В.

Рис. 14

Решение:

По закону Ома определим значения токов в ветвях:

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла b:

I + I1 − I2 = 0

откуда

Задача 1.2.6.На рисунке 15 показана часть сложной цепи. Найти напряжение U_ab, если U_cd =102 В, R₁ = 8 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 6 Ом, E1 = 30 В, E2 = 100 В, E3 = 70 В, I1 = 10 А.

Риc. 15

Решение:

По закону Ома определим ток на участке b−d:

=1 А.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура a−b−c−d:

откуда выразим напряжение U_ab:

Задача 1.2.7.В схеме электрической цепи, приведенной на рисунке 16, определить токи в ветвях пользуясь законами Кирхгофа. Параметры элементов цепи: R₁ = 50 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 50 Ом, R₄ = 80 Ом, E₁ = 50 В, E₂ = 400 В.

Рис. 16

Решение:

Выбираем произвольно положительные направления искомых токов ветвей и обозначаем их на схеме. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Получаем систему из трех уравнений:

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:

Находим значения токов:

Для проверки правильности расчета составим уравнение баланса мощностей:

P_ист = P_потр

Мощность источников:

Мощность потребителей:

Задача 1.2.8.Определить токи ветвей цепи (рисунок 17), если: R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, E1 = 100 В, J = 1 А.

Рис. 17

Решение:

Произвольно задаемся положительными направлениями токов в ветвях с сопротивлениями R₁ и R₂. В ветви с источником тока направление тока уже определено полярностью источника. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Количество контурных уравнений зависит от количества ветвей с неизвестными токами, т.е. ветвей, не содержащих источники тока. Для данной цепи количество контурных уравнений равно 1. Составим систему уравнений:

или

Решаем систему уравнений с помощью определителей:

Определяем значения токов:

Эквивалентные преобразования схем

Применяя законы Кирхгофа и Ома можно получить формулы для эквивалентных преобразований в электрических цепях. Эквивалентным считается преобразование, при котором напряжения и токи в оставшейся части схемы, не подвергшейся преобразованию, остаются прежними.

Последовательно соединенные сопротивления можно заменить эквивалентным, величина которого R_э, на основании второго закона Кирхгофа, равна сумме последовательно включенных сопротивлений (см. рисунок 18).

Рис. 18

Параллельно соединенные сопротивления можно заменить эквивалентным сопротивлением, проводимость которого g_э= 1/R_э, на основании первого закона Кирхгофа, она равна сумме проводимостей включенных параллельно сопротивлений (см. рисунок 19)

или

Рис. 19

Широко распространены схемы с двумя параллельно включенными сопротивлениями. Эквивалентное сопротивление в этом случае равно

Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений. Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 20, а. Так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым для расчета было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 21.

Рис. 20. Преобразования электрической цепи

Рис. 21. Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны. Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звезды в треугольник:

;

Структура приведенных формул проста и легко запоминается.

Пример 1.3.1.Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 20, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R₁= 20 Ом, R₂= 30 Ом, R₃= 5 Ом, R₄= 20 Ом, R₅= 50 Ом.

а) Р е ш е н и е п р е о б р а з о в а н и е м т р е у –

г о л ь н и к а в з в е з д у.

После преобразования треугольника, образованного сопротивлениями R₁, R₂ и R₅, в звезду, получаем схему, показанную на рис. 1.7, б. Обращаем внимание на то, что токи в непреобразованной части схемы (I, I₃ и I₄) остались теми же.

Сопротивления звезды определяем по сформулированному выше правилу: