Задача 3. Анализ сетей Петри
Сеть Петри задана графически (рис. 23…30). В табл. 1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети. Выполнить следующие действия: 1. Описать сеть аналитическим и матричным способами. 2. Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований. 3. Построить дерево достижимости заданной сети. 4. Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.
Таблица 1
Решение: 1. Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p1, p2, p3, p4, p5} и переходы T = {t1, t2, t3, t4, t5}. Начальная маркировка сети обозначается вектором μ0 [μ1,μ2,μ3,μ4,μ5], μ0 [1 3 1 0 2]. Отсюда получим: При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,μ0), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции. Через F(tj) обозначается множество входных позиций, а через H(tj) – множество выходных позиций перехода tj; μ0 – начальная маркировка сети. F(t1) = {p1}, H(t1) = {p2, p3 }, F(t2) = {p2}, H(t2) = {p4}, F(t3) = {p3}, H(t3) = {p5 }, F(t4) = {p4, p5}, H(t4) = {p1}, F(t5) = {p4, p5}, H(t5) = {p2, p3}. μ0 [1 3 1 0 2] Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D–,D+,μ0). Здесь D– и D+ – матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m × n, где m – число переходов и n – число позиций. Элемент dij– матрицы D– равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции. Элемент dij+ матрицы D+ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию. Для рассматриваемой сети Петри
Матрица D = D+ – D - называется матрицей инцидентности сети Петри,
2. Найдем переходы, которые разрешены при начальной маркировке μ0 [1 3 1 0 2] сети Петри.
Переход t1 [μ0] ≥ [10000]* D– = [10000] · ; [1 3 1 0 2] ≥ [1 0 0 0 0] – условие выполняется, переход разрешен.
Новая маркировка при срабатывании перехода t1 определяется следующим образом:
.
Переход t2 [μ0] ≥ [01000]* D– = [01000] ; [1 3 1 0 2] ≥ [0 1 0 0 0] – условие выполняется, переход разрешен.
Новая маркировка при срабатывании перехода t2 определяется следующим образом:
.
Переход t3 [μ0] ≥ [00100]* D– = [00100] ; [1 3 1 0 2] ≥ [0 0 1 0 0] – условие выполняется, переход разрешен.
Новая маркировка при срабатывании перехода t3 равна:
.
Переход t4 [μ0] ≥ [00010]* D– = [00010] ; [1 3 1 0 2] ≥ [0 0 0 1 1] – условие не выполняется, переход запрещен.
Переход t5 [μ0] ≥ [00001]* D– = [00001] ; [1 3 1 0 2] ≥ [0 0 0 1 1] – условие не выполняется, переход запрещен.
Построим дерево достижимости заданной сети.
3. Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения. Уравнение принимает вид
Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда
Приравняем составляющие векторов
Система имеет решение x1 = 0; x2 = 2; x3 = 1; x4 = 1; x5 = 1. Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переход t3, t4, t5 срабатывают по одному разу, переход t2 срабатывает два раза, переход t1 не срабатывает ни разу.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|