Операторній метод розрахунку

Зміст операторного методу розрахунку полягає в тім, що функція f(t) [струм i(t) або напруга u(t)] речовинного змінного t (часу), називана оригіналом, заміняється відповідної їй функцією F(p) комплексного змінного р, називаного зображенням.

Ці функції зв'язані співвідношенням, що називається прямим перетворенням Лапласа

Цей запис скорочено записується у вигляді

Рівняння для зображень струму й напруги можуть бути отримані за законами Ома й Кирхгофа, записаним для операторних схем заміщення.

Операторні опори кіл записуються так само, як і опори цих же кіл у комплексній формі, у яких jω замінено на р.

Наприклад, операторній опір кола(мал.5-24)

має вигляд Z(p)=R+pL+

При складанні операторної схеми всі змінні величини заміняються їх операторними зображеннями [i(t) на I(p), u(t) на U(p), e(t) на E(p)]; котушки індуктивності заміняються послідовними схемами, що складаються з операторного опору p і джерела напруги з ЕРС Li_{( 0-)}, де i_{( 0-)} - початкове значення струму в індуктивності;

конденсатори заміняються послідовними схемами, що складаються з операторного опору й джерела напруги з ЕРС , де - початкове значення напруги на ємності.

ЕРС Li_{( 0-)}має напрямок, що збігається зі струмом i(t), а ЕРС спрямована проти напруги на ємності.

Наприклад, задана довільна гілка електричного кола

Їй відповідає операторна схема заміщення

У цій схемі операторні напруги на котушці індуктивності й конденсаторі при ненульових початкових умовах визначаються по формулах:

;

Методика рішення задач операторним методом зводиться до :

а) складанню операторної схеми заміщення,

б)складанню рівнянь за законами Кирхгофа або відповідних рівнянь по іншому методі розрахунку в операторної форма з урахуванням початкових умов,

в)їхнє рішення відносно зображенні шуканої величини,

г)знаходження оригіналу по знайденому зображенню за допомогою теореми розкладанні або таблиць відповідності.

Приклад розрахунку

Задача1.2.Корені характеристичного рівняння однакові

Вихідні дані : дивись задачу1.1.

1.Операторна схема заміщення для режиму після замикання ключа

2.Складання рівнянь.

Вид рівнянь залежить від методу розрахунку кола. До операторної схеми заміщення застосовні ті ж методи розрахунку, що й для кола постійного струму, а саме: метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів і ін.

Розрахунок методом контурних струмів

Задамося напрямками обходу контурів і складемо для них рівняння по II законі Кирхгофа

Тут i_{1(0) -}- величина струму через котушку в початковий момент комутації

i₁₍₀₎= i_1(-0)=

u₍₀₎ = -100 В - напруга на конденсаторі в початковий момент комутації

3.Рішення системи рівнянь

Підставимо числові значення й вирішимо систему щодо струмів I_{k 1} (p) та I_{k 2} (p) будь-яким відомим способом .

Із другого рівняння виразимо струм I_{k 1}через I_{k 2}:

потім підставимо це вираження в перше рівняння

( )

після розкриття дужок одержимо

після приведення до загального знаменника одержимо зображення другого контурного струму, що збігається зі струмом третьої гілці I₃(p)

I₃(p)= I_к2(p)

Тепер знайдемо зображення першого контурного струму I_{k 1}(p).

Як було визначено раніше,

I_{k 1}(p)=

Підставимо сюди значення I_2k(p)

Струм I_{k 1}(p) збігається зі струмом першої гілці I₁(p)

I₁(p) = I_{k 1}(p)

Зображення напруги на конденсаторі

4. Знаходження оригіналів по зображенню

Щоб перейти від зображення I₃(p) до оригіналу за допомогою таблиці, виконаємо перетворення

Знаходимо в таблиці відповідності, що зображенню виду відповідає

оригінал , а зображенню - оригінал .

Т.ч. одержимо оригінал струму третьої гілці

Зображення струму першої гілці

I₁(p)=

Оригінал цього струму знайдемо по таблиці

i₁(t)= А

Струм другої гілці i₂(t) знайдемо по першому законі Кирхгофа

i₁(t)- i₂(t)- i₃(t)=0

i₂(t)= i₁(t)- i₃(t)= - = А

Зображення напруги на конденсаторі

U_C(p)=

Відповідно до таблиці відповідності, зображенню виду відповідає оригінал виду .

З обліком цієї й раніше розглянутих формул знайдемо оригінал напруги на конденсаторі

Задача 2.2.Коріні характеристичного рівняння різні

Вихідні дані : дивись задачу 2.1.

1.Операторная схема заміщення (мал.5-25)

2.Система рівнянь по методу контурних струмів

3.Рішення системи рівнянь(див. приклад 1.2).

( )

Струм I₃ (р) збігається з I_k2(р), а струм I₁ (р) збігається з I_k1(р).

Зображення напруги на конденсаторі

4.Знаходження оригіналів по зображенню.

Зображення струму I₃ (р)

Перехід від зображення до оригіналу зробимо за допомогою теореми розкладання, тобто

i₃(t) =

де F₁(p)=1200+3p

F₂(p)=

F '₂(p) =2*0,2p+70=0,4p+70

р - корінь рівняння F₂(p)=0

р₁= -72 р₂= -278

тоді F₁(р₁)=1200+3(-72)= 984

F '₂(р₁)=0,4p+70=0,4(-72)+70=41,2

F₁(р₂)=1200+3(-278)= 366

F '₂(р₁)=0,4p+70=0,4(-670)+70 = -41,2

Оригінал струму третьої гілці

i₃(t) = А

зображення струму I₁ (р) = A

оригінал знайдемо по теоремі розкладання для випадку, коли одне з корінь дорівнює нулю:

i₁(t) =

де F_1(p)=p²+650p+2*10⁴

F_3(p)=0,2p²+70p+4000

F '_3(p)= 2*0,2p+70=0,4p+70

При р=0 F₁₍₀₎= 2*10⁴

F₃₍₀₎=4*10³

При р=-72 F_1(p1)=72²+650(-72)+ 2*10⁴ =-21616

F '_3(p1)= =0,4(-72)+70=41,2

При р=-278 F_1(p2)=278²+650(-278)+ 2*10⁴ =-83416

F'_3(p2)= =0,4(-278)+70=-41,2

Оригінал струму першої гілці

i₁(t) = А

струм i₂(t) знайдемо по першому законі Кирхгофа

i₂(t)= i₁(t)- i₃(t)= - = А

Зображення напруги на конденсаторі

U_C(p)

оригінал знайдемо по формулі: u(t) =

тут F_1(p)= 6*10⁵+1500p

F_3(p)=0,2p²+70p+4000

F '_3(p)= 2*0,2p+70=0,4p+70

При р=0 F₁₍₀₎= 6*10⁵

F₃₍₀₎=4*10³

При р= -72 F_1(p1)= 6*10⁵ +1500(-72) =492000

F '_3(p1)= =0,4(-72)+70=41,2

При р= -278 F_1(p2)=6*10⁵ +1500(-278)+ =183000

F'_3(p2)= =0,4(-278)+70=-41,2

Оригінал напруги на конденсаторі

u(t)= = =

= В

Задача3.2. Корінь характеристичного рівняння комплексні

Вихідні дані : дивись задачу 3.1.

1.Операторная схема заміщення (мал. 5-26)

2.Система рівнянь по методу контурних струмів

3.Рішення системи рівнянь(див.приклад 1.2).

( )

I_{k 1}(p)= = =

Струм I₃ (р) збігається з I_k2(р), а струм I₁ (р) збігається з I_k1(р).

I₃ (р) = I_k2(р), I₁ (р) = I_k1(р).

Зображення напруги на конденсаторі

4.Знаходження оригіналів по зображенню.

Зображення струму I₃(p)

По теоремі розкладання

i₃(t) =

де F₁(p)=1200+15p

F₂(p)=

F '₂(p) =2p+160

р - корінь рівняння F₂(p)=0

р₁= -80+j40 р₂= - 80-j40

тоді F₁(р₁)=1200+15(-80+j40)= j600

F '₂(р₁)=2p+160=2(-80+j40)+160=j80

F₁(р₂)=1200+15(- 80-j40)= -j600

F '₂(р₁)=2p+160=2(- 80-j40)+160 = -j80

Оригінал струму третьої гілці

i₃(t) = А

Отримана відповідь являє собою суму комплексних сполучених чисел. При підсумовуванні таких доданків їхні мнимі частини взаємно знищуються, а дійсні частини складаються. Тому оригінал шуканої величини перебуває як подвоєна дійсна частина одного з доданків.