Главная | Обратная связь

Действия с комплексными числами

 

Сложение и вычитание.

 

 

Умножение.

 

 

В тригонометрической форме:

,

 

В случае комплексно – сопряженных чисел:

Деление.

 

В тригонометрической форме:

 

Возведение в степень.

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 

Извлечение корня из комплексного числа.

 

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Примеры

1) Даны два комплексных числа найти значение выражения в алгебраической форме

Решение:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

 

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

 

2) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

Решение:

Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспользуемся формулой Муавра.

 

Если , то

Показательная форма комплексного числа.

 

Рассмотрим показательную функцию

 

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 

 

Данное равенство называется уравнением Эйлера.Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

 

1)

2)

3) где m – целое число.

 

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

 

Из этих двух уравнений получаем:

 

 

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

 

 

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.