 |
|
Должны быть положительны.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)
Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком
А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz), 26 марта 1859, Хильдесхайм — 18 ноября 1919, Цюрих — немецкий математик.
Гурвиц поступил в университет Мюнхена в 1877 году. Через год он переезжает в Берлин. Заканчивает обучение в Лейпциге (1880). Преподавательскую карьеру начал в Кёнигсбергском университете, где в 1884 году стал профессором. С 1892 года профессор Политехнической школы в Цюрихе. Среди его студентов в Цюрихе были Давид Гильберт и Альберт Эйнштейн.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Чтобы все корни характеристического уравнения АС
a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a0 > 0 выполнение условия:
все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов
| a1 | a3 | a5 | a7 | ... | ||||
| a0 | a2 | a4 | a6 | ... | ||||
| a1 | a3 | a5 | ... | |||||
| a0 | a2 | a4 | ... | |||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ||
| an-1 | ||||||||
| an-2 | an |
должны быть положительны.
Матрица Гурвица составляется следующим образом:
- на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an ( в порядке возрастания индекса),
- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами,
- в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно убывающими индексами;
- на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.
Определители Гурвица – это так называемые
ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:
; 
; 
; . . .
Последний столбец матрицы содержит всегда только один элемент an, отличный от нуля, поэтому согласно известному свойству определителей 
Если an = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),
если 
, то - колебательная граница устойчивости (комплексные корни).
ИТАК
Если хотя бы один из определителей Гурвица
отрицателен или равен нулю,
то система неустойчива.