ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИСтр 1 из 3Следующая ⇒
ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Ранее мы уже отмечали, что амплитуда события закономерно зависит от локализации этого события во времени и в пространстве. Эти закономерности можно описать относительно простыми уравнениями, используя понятия вектора (или функции) состояния и оператора. ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИ Представим себе устройство ("прибор"), в котором с частицами ничего не происходит: частица предоставлена самой себе и подвергается только действию времени. Влияние времени на состояние частицы можно исследовать стандартным способом — с помощью некоторого спектрального анализатора (А). Для этого следует проанализировать приготовленное состояние частиц в разные моменты времени, например t1и t2. В качестве результата анализа будут выступать два вектора состояния: | Y ñt1 = A1 | 1 ñ + A2 | 2 ñ + . . . . + An | n ñ | Y ñt2 = A'1 | 1 ñ + A'2 | 2 ñ + . . . . + A'n | n ñ В общем случае результат анализа (т.е. набор чисел-координат Ai) зависит от момента времени, в который производится анализ, т.е. с течением времени состояние частицы изменяется. Для описания такой эволюции во времени удобно представить состояние в виде вектора, координаты которого закономерно зависят от времени: | Y ñt = A1(t) | 1 ñ + A2(t) | 2 ñ + . . . . + An(t) | n ñ Зная, как выглядят функции Ai(t), можно вычислить числовые значения координат вектора состояния в произвольный момент времени t. Подчеркнем, что при таком подходе зависимость от времени заключена в координатах вектора, тогда как базисные состояния от времени никак не зависят. Такой способ введения времени в квантово-механические уравнения называется представлением Шредингера. Существуют и другие способы решения той же проблемы. Так, в представлении Гейзенберга время вводится в базисные состояния, тогда как координаты вектора состояния предполагаются постоянными: | Y ñt = A1 | 1 (t) ñ + A2 | 2 (t) ñ + . . . . + An | n (t) ñ Наиболее общим вариантом является представление Дирака, в котором временная зависимость разделяется определенным способом между координатами и базисными состояниями: | Y ñt = A1 (t) | 1 (t) ñ + A2 (t) | 2 (t) ñ + . . . . + An (t) | n (t) ñ Рассмотрим эволюцию состояния системы за промежуток времени между двумя измерениями: Dt = t2 – t1, в течение которого совершается переход | Y ñt1® | Y ñt2. Этот переход удобно описать с помощью специального оператора эволюции UDt . | Y ñ t2 = UDt | Y ñ t1 Это векторно-операторное уравнение можно записать в координатном представлении, например через вектор-столбцы и квадратную матрицу: В соответствии с правилами линейной алгебры, мы можем заменить это уравнение эквивалентной системой из n уравнений вида: которые позволяют вычислять координаты второго вектора из известных координат первого и матричных элементов оператора эволюции. Достаточно очевидно, что каждому отрезку времени соответствует свой оператор эволюции, т.е. для описания произвольных процессов эволюции потребуется бесконечно много таких операторов. В действительности, однако, операторы эволюции тесно связаны между собой. Рассмотрим два последовательных промежутка времени, которым соответствуют операторы эволюции U(t2, t1) и U(t3, t2). Сумма двух, следующих друг за другом, промежутков времени (Dt21 = t2 – t1 и Dt32 = t3 – t2) может, очевидно, рассматриваться как один большой промежуток (Dt31 = t3 – t1), которому соответствует свой оператор эволюции U(t3, t1): Тогда между тремя перечисленными операторами существует простое соотношение: U (t3, t1)= U (t3, t2) × U (t2, t1) Отсюда можно заключить, что операторы эволюции для более крупных промежутков времени можно строить в виде произведений операторов для более мелких промежутков. Это позволяет выбрать некоторый стандартный промежуток времени (достаточно малый), найти для него оператор эволюции и из него строить все остальные. Наиболее удобно в качестве такого стандартного промежутка взять бесконечно малый интервал (dt). Соответствующий стандартный оператор Udt называется оператором бесконечно-малого сдвига во времени (или "инфинитезимальным" оператором эволюции). Рассмотрим вид матричных элементов оператора эволюции, который осуществляет сдвиг от начального момента времени t1 = 0 к текущему моменту t1 = t. Очевидно, что матричные элементы будут функциями времени: Uij = j(t). Любую из этих функций можно разложить в степенной ряд (ряд Тейлора): j(t) = j(0) + С1(t) + C2(t)2 + • • • где коэффициенты С1, С2 и т.д. пропорциональны производным первой, второй и т.д. степени. Для бесконечно малого сдвига во времени степенями величины dt, начиная с 2, можно пренебречь. Поэтому зависимость Uij(t) может быть представлена более простым образом: Очевидно, что при нулевой величине сдвига (t = 0) конечный вектор не будет отличаться от исходного, т.е. A'i= Ai. Следовательно, матричные элементы Uij(0) должны образовывать единичную матрицу (символ Кронекера или дельта-символ — dij): С учетом этого результата выражение для матричного элемента приобретет вид: (переименование коэффициента разложения dUij/dt ® –(i/h)Hij осуществляется по соображениям размерности). Подставив полученное выражение в исходную систему уравнений, получим: A'i = å [dij – (i/h )Hij dt] Aj = ådij Aj – (i/h )å(Hij Aj)dt = = Ai – (i/h)å(Hij Aj)dt Отсюда легко получить следующую форму системы уравнений: которую удобно переписать в матричном виде или в операторном виде с использованием векторов состояния: или волновых функций: Это уравнение называется уравнением Шредингера, а входящий в него оператор Н — оператором Гамильтона (или гамильтонианом). Таким образом, можно узнать, насколько изменилось некоторое начальное состояние за время dt, располагая только оператором Гамильтона: Y(t + dt)=Y(t) + dY = Y(t) – (i/h) [H • Y(t)]dt Последовательно проводя такую операцию сдвига во времени (+dt или –dt), можно легко предсказать все будущие и прошлые состояния системы. Следует подчеркнуть, что гамильтониан зависит от внешних условий, в которых находится система — если эти условия изменить, то изменится и характер эволюции системы во времени. Рассмотрим некоторые свойства оператора Гамильтона. Как у всякого квантово-механического оператора, у гамильтониана имеется набор собственных векторов (функций) и собственных значений: которые удовлетворяют уравнению на собственные значения: H | hi ñ = li × | hi ñ и H ji = li × ji Возьмем одну из собственных функций гамильтониана и подставим ее в уравнение Шредингера: В этом случае операторное уравнение превращается в простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое может быть легко проинтегрировано: Заметим, что комбинация величин, стоящая в показателе экспоненты: представляет собой фазу комплексной экспоненты, т.е. безразмерное число. Отсюда можно заключить, что размерность собственного значения гамильтониана выражается в [Дж]. Поэтому, собственные значения оператора Гамильтона представляют собой допустимые значения квантовомеханической наблюдаемой, называемой, по аналогии с классической механикой, энергией(e): li = ei . Отношение wi = ei /h (с размерностью [с–1] ) называется частотой, которая, в сущности, также представляет собой энергию, но измеренную в единицах h. Теперь собственные функции гамильтониана можно записать так: Очевидно, что каждой собственной функции гамильтониана соответствует своя строго определенная энергия (и частота). Этот признак является характерным, и любое квантово-механическое состояние со строго определенной энергией является одновременно и собственным для некоторого оператора Гамильтона. Из приведенных формул видно, что собственные функции гамильтониана зависят от времени, причем временная зависимость всегда имеет строго определенный вид: фаза комплексной экспоненты прямо пропорциональна времени: q = w t. Располагая этой информацией, можно описать зависимость от времени для любой волновой функции. Для этого достаточно воспользоваться принципом суперпозиции. Набор собственных функций любого оператора образует базис. Поэтому можно произвольную функцию представить в виде линейной комбинации собственных функций гамильтониана: Легко видеть, что несобственным функциям всегда соответствует несколько частот, тогда как каждой собственной функции соответствует единственная и строго определенная частота. По этой причине собственные состояния гамильтониана иногда называют монохроматическими. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|