Главная | Обратная связь

Прохождение гармонического сигнала

По элементам электрической цепи

Рассмотрим явления при прохождении гармонического тока по элементам электрической цепи.

Для резистора

R

I_r I_r U_r

 

U_r

U_r = U_m sin(ωt), I_r = U_m/R sin(ωt).

Ток и напряжение в цепи активного элемента – сопротивления совпадают по фазе.

Для емкости

С I_c

I_c

 

U_c U_c

 

U_c = U_m sin(ωt)

I_c = C d (U_m sinωt)/dt = C ω U_m cos(ωt) или

I_c = U_m/(1/ωC) sin(ωt + π/2),

где X_c = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление.

Из приведенных соотношений видно, что ток в цепи конденсатора опережает падение напряжение на нем на π/2.

Для индуктивности

 

L U_L

I_L I_L

U_L

 

U_L = U_msinωt, I_L = (- 1/L) · U_m ∫ sinωt dt = (- 1/ωL) · U_m cosωt,

I_L = (U_m/ωL) · sin(ωt – π/2),

где X_L = ωL – реактивное индуктивное сопротивление. Ток в цепи катушки индуктивности отстает от падения напряжения на ней на π/2.

 

Интегрирующие и дифференцирующие цепи

CR – цепь.

 

U₁ C R U₂

 

 

Напряжение на резисторе U_r = U₂ = IR, где I=C dU_c/dt, тогда

U₂ = CR dU_c/dt.

Зная, что U_c = U₁ – U₂, получим для U₂ =CR dU₁/dt – CR dU₂/dt.

При малых частотах и постоянных токах U_r – величина малая, тогда

U₂=CR dU/dt,

т.е. напряжение на выходе цепи пропорционально дифференциалу U₁, поэтому ее называют дифференцирующей.

RC – цепь.

R

U₁ C U₂

 

 

Ток в цепи конденсатора I = C dU_c/dt, а напряжение U_c = 1/C ∫ Idt, где I =U_r/R, тогда . При R » 1/ωC, , т.е. напряжение на выходе RC – цепи пропорционально интегралу от входного напряжения. Такая RC – цепь именуется интегрирующей.

Переходные характеристики CR - и RC – цепей

Анализируемая цепь описывается переходной характеристикой, равной реакции цепи на единичный скачек воздействия. Схема цепи изображена на рис.1

 

U_r I

 

R

e (t)

C U_c

 

Рис. 1

 

Воздействие e(t) – скачек напряжения в момент времени t = 0 на величину Е. Согласно закону Кирхгофа запишем уравнение U_r + U_c = e(t). Так как U_r = iR, a i = CdU_c/dt, то уравнение примет вид RC dU_c/dt + U_c = e(t). При e(t) = 0 решение однородного уравнения цепи U_c(t) = Аe ^–t/RC.

Частное решение неоднородного уравнения описывает стационарный режим. В рассматриваемом примере с течением времени емкость зарядится до стационарного значения U_c= E. Константу А можно найти из начального условия: U_c = 0 при t = 0. Поэтому А = - Е. Окончательное выражение для напряжения U_c(t) = E [1 – exp(-t/RC)], t ≥ 0. Переходная характеристика RC – цепи h_c(t) = 1 – exp( - t/RC ), t ≥ 0.

График зависимости напряжения U_c(t) от времени представлен на рис. 2.

U_c

Е

 

0,63E

 

τ t

Рис. 2

 

τ = RC – называется постоянной времени, которая означает время, в течение которого напряжение на конденсаторе изменится в e раз. Например: за время τ напряжение U_c возрастает до 63% от Е, а за время 3τ до 95%.

Форму сигнала, как отклик системы на импульсное воздействие можно исследовать с помощью преобразования Фурье. Применим его для импульсного сигнала, U₁ = e(t) = E при 0 ≤ t ≤ t₁, U₁ = e(t) = 0 при t < 0, t > t₁,

подаваемого на цепь, приведенной на рис. 3.

 

 

С

U₁ R U₂

 

Рис. 3

 

Введем понятие коэффициента передачи рассматриваемой цепи:

.

1. Находим спектральную функцию сигнала:

.

2. Определим измененную спектральную функцию сигнала после прохождения через цепь:

.

3. По измененной спектральной функции сигнала находим сигнал на выходе цепи:

После интегрирования получаем:

U₂ = e^*(t) = Ee ^–t/RC при t < t₁

при t > t₁.

 

1.0 U₁/E 1.0 U₂/E

 

t = t₁

 

t = 0 t = t₁ t t = 0 t

 

Рис. 4

 

Первая часть решения, при 0 ≤ t ≤t₁, соответствует переходному процессу в цепи при включении Е; вторая часть, при t > t₁, при выключении Е. На рис.4 представлены входной сигнал прямоугольной формы и форма сигнала на выходе СR-цепи при различных τ.