 |
|
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ
1. Однородная стенка. Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r1 и внешним r2. Примем, что коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t1 и t2, причем t1>t2 (рис. 1.5.) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности - цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось.
| 
|
| Рис. 1.5. Однородная цилиндрическая стенка | Рис. 1.6. Многослойная цилиндрическая стенка |
Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье, тепловой поток, проходящей через этот слой, равен:
(a)
Разделив переменные, имеем:
(б)
После интегрирования уравнения (б) находим:
(в)
Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r1 t = t1 и при r = r2 t = t2) можно записать
и 
(с)
исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:
(1-8)
Формула (1-8) справедлива и для случая, когда t1<t2, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней. Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то целесообразно использовать линейную плотность теплового потока
, Вт/м. (1-9)
тогда расчетная зависимость имеет вид
. (1-10)
Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (в) с учетом (с):
. (1-11)
Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 1.5.).
2. Многослойная стенка. Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения представлены на рис. 1.6. Кроме того, известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t1 и t2. В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t2 и t3.
При стационарном тепловом режиме значение ql для всех слоёв одинаково. Поэтому с использованием (1-11) можно записать:
(г)
Из этих уравнений определяется температурный напор в каждом слое:
(д)
Складывая отдельно левые и правые части системы уравнений (д), имеем:
(е)
из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока ql:
(1-12)
По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n-слойной стенки
(1-13)
Значения неизвестных температур t2 и t3 поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (д):
(1-14)
Согласно уравнению (1-11), внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (рис. 1.6.).