Главная | Обратная связь

Равнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой.

Чтобы составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой, не вызвало затруднений, вспомним важные факты.

Аксиома параллельных прямых гласит: на плоскости через точку, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую a на плоскости, указав прямую линию b, которой параллельна прямая a, и точку М₁, не лежащую на прямой b, через которую проходит прямая a.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Пусть в этой системе координат задана точка и прямая b, которой соответствует некотороеуравнение прямой на плоскости

. Требуется написать уравнение прямой a, которая проходит через точку М₁ и параллельна прямой b.

Решим поставленную задачу.

Из условия мы знаем координаты точки М₁, через которую проходит прямая a. Этих данных не достаточно, чтобы написать уравнение прямой a.

Нам еще нужно знать

· или координаты направляющего вектора прямой a (тогда мы сможем записатьканоническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости),

· или координаты нормального вектора прямой a (тогда мы сможем составить общее уравнение прямой a),

· или угловой коэффициент прямой a (в этом случае мы сможем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом).

Как же их найти?

По условию прямая a параллельна прямой b, тогда, на основании необходимого и достаточногоусловия параллельности двух прямых на плоскости, в качестве направляющего вектора прямойa мы можем принять направляющий вектор прямой b, в качестве нормального вектора прямой aмы можем взять нормальный вектор прямой b, а угловой коэффициент прямой a равен угловому коэффициенту прямой b (или они оба бесконечны).

Таким образом, чтобы в прямоугольной системе координат на плоскости написать уравнение прямой a, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой b, нужно определить

· или координаты направляющего вектора прямой b ( ),

· или координаты нормального вектора прямой b ( ),

· или угловой коэффициент прямой b ( ),

принять их соответственно в качестве

· координат направляющего вектора прямой a ( ),

· координат нормального вектора прямой a ( ),

· углового коэффициента прямой a ( ),

и записать требуемое уравнение прямой a соответственно в виде

· или ,

· ,

· .

Внесем ясности – приведем примеры с подробными решениями на каждый случай.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку параллельно прямой .

Решение.

Из параметрических уравнений прямой нам сразу видны координаты ее направляющего вектора . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить. Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с координатами , имеет вид .

Это и есть искомые уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .

Ответ:

.

Иногда требуется составить уравнение прямой определенного вида, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой. В этом случае сначала записываем уравнение прямой, которое проще всего получить, после чего приводим его к нужному виду.

Пример.

Составьте уравнение прямой в отрезках, если эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy проходит через точку плоскости с координатами параллельно прямой .

Решение.

Очевидно, нормальным вектором прямой, общее уравнение которой имеет вид , является вектор . Этот вектор также является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей нормальный вектор имеет вид . Это общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами параллельно прямой . Осталось перейти от полученного уравнения прямой к требуемому уравнению прямой в отрезках: .

Ответ:

.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку и параллельна прямой .

Решение.

Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны (или бесконечны), тогда - угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее уравнение имеет вид .

Ответ:

.

Итак, уравнение прямой a, проходящей через заданную точку плоскости M₁ параллельно заданной прямой b, проще всего записывать в таком виде, в котором записано уравнение заданной прямой b.

К началу страницы