 |
|
Пряма задача теорії похибок
Відомі похибки деякої системи величин 
, 
,…, 
. Потрібно визначити похибку функції 
від цих величин.
Нехай 
– абсолютні похибки аргументів функції. Тоді абсолютна похибка функції 
.
Будемо вважати 
малими величинами, добутками, квадратами і вищими степенями яких можна нехтувати, тоді
| (1) |
Позначимо: 
– гранична похибка функції, 
– гранична похибка 
.
| Для малих маємо:
| 
| (2) |
Гранична відносна похибка функції: 
.
Обернена задача теорії похибок 
Визначити, якими повинні бути абсолютні похибки аргументів функції 
, щоб абсолютна похибка функції не перевищувала заданої величини?
Цю задачу можна розв’язати, користуючись принципом рівних впливів.
Згідно з цим принципом припускають, що всі частинні диференціали 
однаково впливають на утворення загальної абсолютної похибки функції .
Нехай величина граничної абсолютної похибки задана. Тоді 
.
Припускаючи, що всі доданки рівні між собою, будемо мати :
.
Отже, 
, 
.
Інколи припускають, що гранична абсолютна похибка всіх однакова, тобто
, де .
Припускаючи, що точність усіх вимірювань однакова, отримаємо формулу
, де 
.
Метод меж
У певних випадках потрібно мати точні границі для шуканого значення функції, якщо відомі границі зміни її аргументів.
Для цього користуються способомподвійнихобчислень, який ще називають методоммеж. Нехай 
– неперервно-диференційовна функція, монотонна по кожному аргументу 
у розглядуваній області 
зміни аргументів.
Припустимо, що похідні 
, зберігають постійний знак у цій області.
Покладемо 
, 
.
Позначимо: 
; 
.
Тоді очевидно, що 
, де 
, 
.
Зауваження. Змінні 
і результати дії над ними можна округлювати лише в сторону зменшення 
, а 
і результат дії над ними лише в сторону збільшення 
.
Методичні вказівки
Приклад 1.
Знайти суму наближених чисел : 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354.
Розв’язування.
1) Виділимо числа абсолютної точності. Абсолютна похибка їх може бути 0,05 (оскільки маємо числа 345,4; 235,2).
2) Округлюємо всі останні числа до сотих.
3) 345,4 + 235,2 + 11,75 + 9,27 + 0,35 + 0,18 + 0,08 + 0,02 + 0,00 = 602,25
4) Одержаний результат округлюємо до десятих : 
.
Повна похибка результату складається з трьох доданків :
1) з суми граничних похибок вхідних даних 
2) абсолютної величини суми похибок (з врахуванням знаків округлення доданків): 
3) залишкова похибка округлення результату: 
.
.
Приклад 2.
Визначити добуток 
наближених чисел 
і 
і число правильних знаків у ньому, якщо всі записані цифри співмножників правильні.
Розв’язування.
Граничні похибки співмножників: 
; 
.
Відносна похибка добутку : 
. 
.
Правильними є лише перші дві цифри.
Отже, 
.
Приклад 3.
Знайти кількість правильних знаків частки 
.
Розв’язування.
.
Знайдемо граничну абсолютну похибку : 
.
Правильних знаків буде два, тобто ми можемо зберегти один знак 
. 
.
Приклад 4.
Знайти граничні абсолютну та відносну похибки об’єму кулі 
, якщо 
м, 
.
Розв’язування.
Розглянемо 
і 
як змінні величини.
Обчислимо частинні похідні : 
; 
.
Гранична абсолютна похибка обчислення об’єму
. 
.
Гранична відносна похибка об’єму 
, 
.
Приклад 5.
Радіус основи циліндра 
, висота 
. З якими абсолютними похибками треба визначити 
і 
, щоб об’єм циліндра 
отримати із точністю до 
?
Розв’язування.
, 
. Покладемо 
, 
.
; 
; 
;
; 
; 
.
Приклад 6.
Алюмінієвий циліндр з діаметром основи 
, висотою 
, має масу 
.Визначити густину 
алюмінію і оцінити її граничну абсолютну похибку.
Розв’язування.
, 
, 
Функція - зростаюча по аргументу 
і спадна по аргументам 
і 
:
; 
; 
; 
;
(з недостачею); 
(з надвишкою).
Візьмемо середнє арифметичне 
. Після округлення маємо 