Главная | Обратная связь

Расчет случайной составляющей погрешности многократных равноточных измерений

Наличие случайной составляющей погрешности измерения является следствием одновременного воздействия на объект измерения многих факторов. Суммарное воздействие этих факторов в различные моменты времени является переменной величиной. Выявить и оценить численное значение случайной составляющей погрешности можно путем многократных измерений.

При оценке данной погрешности используются методики теории вероятности. С учетом того, что наиболее часто случайная составляющая погрешности подчиняется нормальному закону распределения случайных чисел (Закону Гаусса), рассмотрим порядок обработки результатов многократных измерений для данной закономерности.

При нормальном законе распределения случайной погрешности (Закон Гаусса) плотность вероятности случайной погрешности (плотность распределения вероятностей) определяется выражением:

 

 

 

где s - среднеквадратическое отклонение (СКО) результатов наблюдений.

 

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы -D₁ ÷ +D₁ определяется по формуле:

 

Плотность распределения вероятностей при нормальном законе может быть представлена графиком:

 

 

Рисунок 4.2 Кривые нормального распределения случайных погрешностей при различных s

 

 

Порядок оценки случайной составляющей погрешности:

- Проводим ряд равноточных измерений. Результаты данных измерений называются результатами наблюдений - А₁, А₂, А₃......А_n. Чем больше измерений выполнено, тем точнее будут результаты оценки погрешности.

-
Рассчитываем наиболее достоверное значение измеряемого параметра, как среднеарифметическое значение:

Рассчитываем абсолютные погрешности результатов наблюдений:

 

 

Для наглядности и удобства обработки результаты расчетов можно занести в таблицу:

 

№ изм	Значения Аi (ед-цы измерения)	Di = (Аi –`Ā) с точностью 0,000001	Di2 = (Аi –`Ā)2 с точностью 0,000001
.
.
n	с точностью 0,000001	с точностью 0,000001	с точностью 0,000001

 

-
Рассчитаем среднеквадратичное отклонение (СКО) результатов наблюдений (отклонение результатов наблюдений от среднего значения):

 

- По закону Гаусса с вероятностью 99,7% абсолютная погрешность не превысит D_max=3s.

- Соответственно, можно сформулировать результат измерения в виде:

 

ОТВЕТ: А= (Ā±D_max) ед-цы изм, с p=99,7% при заданных условиях.

Т.е. наиболее достоверное значение измеренного параметра равно Ā, при заданных условиях, с доверительной вероятностью 99,7% абсолютная погрешность не превысит значения D_max.

 

 

Если результат необходимо дать с доверительной вероятностью менее чем 99,7%, проводят дополнительные расчеты.

- Рассчитываем среднеквадратичное отклонение (СКО) результата измерения (отклонение среднего значения Ā от истинного):

 

- Для заданного значения доверительной вероятности p и количества выполненных наблюдений n определяем коэффициент Стьюдента t_n(p). Для определения коэффициента используются таблицы Стьюдента-Фишера, которые даются в справочниках по математике и физике.

 

 

Для студентов УрТИСИ эти таблицы приведены в методических указаниях по выполнению практических работ (ДФО) и домашней контрольной работы (ЗФО).

 

-
Рассчитываем значение допустимой случайной погрешности для заданной доверительной вероятности:

 

- Результат измерения записываем следующим образом:

 

ОТВЕТ: А= (Ā±D_доп) ед-цы изм, с p=____% при заданных условиях.

Т.е. наиболее достоверное значение измеренного параметра равно Ā, при заданных условиях, с доверительной вероятностью p% абсолютная погрешность не превысит значения D_доп.