 |
|
Пряма задача теорії похибок
В деякій області G n-вимірного простору розглядається неперервно-диференційована функція y=f(x1, x2,…, xn). Припустимо, що потрібно обчислити значення цієї функції в точці (x1, x2,…, xn)ÎG, а відомі тільки наближені значення 
такі, що точка 
, та їх похибки.
обчислимо наближене значення 
та оцінимо його абсолютну похибку.
Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати
, (3)
де
.
При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку
, (4)
яку називають лінійною оцінкою похибки.
Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:
. (5)
Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.
1. Похибка суми.
.
Оскільки 
, то з (4) будемо мати
, (6)
а з (5) відповідно
. (7)
Аналогічно знаходимо похибки для інших математичних операцій.
2. Похибка різниці.
.
, (8)
. (9)
3. Похибка множення.
.
, (10)
. (11)
4. Похибка ділення.
.
, (12)
. (13)
Відзначимо, що для суми та різниці абсолютні похибки додаються, а для операцій множення та ділення складаються відносні похибки. З формули (9) видно, що якщо віднімаються два близьких числа, то відносна похибка результату може значно зрости. А при діленні на досить мале число може значно зрости абсолютна похибка.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 4. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманих наближених чисел:
1) 0,1545; 2) 1,343; 3) –372,75.
Розв’язання.
1) x=0,1545. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,155, тоді Δ(x*)=0,0005=5·10–4, а відносна похибка
δ(x*)=5×10–4/0,155»0,32×10–4.
2) x=1,343. Тоді x*=1,34, Δ(x*)=| x*– x|=0,003. Відповідно відносна похибка
δ(x*)=3×10–3/1,34=2,2×10–3.
3) x=–372,75. Тоді x*=–373, Δ(x*)=0,25, а
δ(x*)=0,25/373=6,7×10–4.
Приклад 5. Визначити кількість вірних цифр в числі x*, якщо відома його відносна похибка:
1) x*=22,351, δ(x*)=0,1;
2) x*=9,4698, δ(x*)=0,1·10–2;
3) x*=47361, δ(x*)=0,01;
Розв’язання.
1) Обчислимо абсолютну похибку Δ(x*)=x*δ(x*)=2,2351. Тоді будемо мати, що в числі x* вірною є тільки цифра 2, тобто одна вірна цифра.
2) Обчислимо абсолютну похибку Δ(x*)=x*δ(x*)=9,4698·0,1·10–2=0,0094698. Тоді в числі x* будуть вірними дві цифри 9 та 4.
3) Абсолютна похибка буде дорівнювати Δ(x*)=47361·0,01=473,61. Отже в числі x* будуть вірними дві цифри 4 та 7.
Визначимо, що поведінка обчислювальної похибки залежить від правил заокруглення та алгоритму чисельного розв’язування задачі.
Приклад 6.На гіпотетичній ЕОМ з мантисою довжини чотири знайти суму
S=0,2764+0,3944+1,475+26,46+1364
а) сумуючи від меншого доданку до більшого;
б) сумуючи від більшого доданку до меншого.
Розв’язання.
а) Маємо S2=0,2764+0,3944=0,6708, S3=S2+1,475. Вирівнюючи порядки у цих двох доданків будемо мати S3=1,475+0,671=2,146. Аналогічно далі
S4=S3+26,46=2,15+226,46=28,61,
S=S5=S4+1364=29+1393.
б) Маємо S2=1364+26,46=1364+26=1390,
S3=S2+1,475=1390+1=1391,
S4=S3+0,3944=1391,
S=S5=S4+0,2764=1391.
Враховуючи, що точне значення S=1392,6058, бачимо, що сумування потрібно проводити починаючи з менших доданків. В протилежному випадку може мати місце значна втрата значущих цифр.
Приклад 7.Нехай числа 
=1,417744688 та 
=1,414213562 задані з десятьма вірними значущими цифрами. Скільки вірних значущих цифр матиме число 
?
Розв’язання.Віднімаючи, отримаємо x*=0,003531126. Позначимо 
=1,417744688, 
=1,414213562. Тоді абсолютні похибки 
. Абсолютна похибка різниці 
буде дорівнювати 
. Оскільки 10–9<0,5·10–8, то робимо висновок, що число x* має шість вірних значущих цифр 3,5,3,1,1,2.
Відзначимо, що те ж саме значення можна отримати, подавши x* у вигляді
,
причому для цього достатньо взяти величини 
достатньо взяти з сімома вірними значущими цифрами.
Приклад 8.Оцінити похибку обчислення функції
,
якщо x=0,15±0,005, y=2,13±0,01, z=1,14±0,007.
Розв’язання.Згідно з формулою (4), для абсолютної похибки результату отримаємо
Знайдемо 
.
Тоді 
.
Приклад 9.Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об’єму циліндра, якщо p* 3,14?
Розв’язання. 
. Більш точне значення p=3,14159265, отже D(p*)=0,16×10–2, а d(p*)=0,16×10–2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати
.
Приклад 10.Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об’єму куба.
Розв’язання.позначимо сторону куба через a. Тоді 
, 
см. Застосовуючи формулу (4), будемо мати 
=(3×82×0,02)см3=3,84см3, а 
.
Приклад 11.Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення b та довжиною мантиси t.
Розв’язання.Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді
,
де ℓ визначає порядок числа, di – цілі, причому 
, 
. Нехай точне значення числа дорівнює
.
Тоді
.
Отже 
.
Якщо ж числа вводяться за правилами заокруглення, то 
і тоді будемо мати, що
.