Задание 6.4. Исследовать сходимость числового ряда

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Решение.Воспользуемся предельным признаком сравнения.

Сравним данный ряд и ряд , который расходится. , .

. Значит, исследуемый ряд расходится, так же как и ряд .

Задание 6.5. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. . Ряд расходится, т.к.

не выполняется необходимый признак сходимости рядов .

Задание 6.6. Исследовать на сходимость, абсолютную и условную знакочередующийся ряд .

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,

т.к. и . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. ряд из абсолютных величин его членов сходится по признаку Коши, т.к. .

Задание 6.7. Исследовать на сходимость, условную или абсолютную сходимость знакочередующийся ряд .

Решение.Представим данный ряд в виде суммы двух рядов . Для ряда выполняется

признак Лейбница и , т.е. ряд сходится. Т.к. ряд , составленный из абсолютных величин ряда , есть гармонический ряд (расходящийся), то ряд сходится условно. Исходный ряд как сумма сходящегося условно ряда и расходящегося ряда , расходится.

Задание 6.8. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , .

Радиус сходимости . Следовательно, ряд сходится в интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Положим сначала x = 3.

Получим числовой ряд , который расходится (сравним с гармоническим рядом ). Возьмем теперь x = -3. Получим знакочередующийся ряд , который сходится условно по признаку Лейбница

(см. решение примера 6.7.). Таким образом, область сходимости ряда - полуинтервал .

Задание 6.9. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , , x₀= -2. Определим радиус сходимости ряда . Таким образом, ряд сходится в интервале (x₀ - R, x₀ + R), т.е. (-2-5;-2+5) или (-7;3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Возьмем x=3. Получим числовой ряд .

Предел общего члена этого ряда , следовательно, ряд расходится. При x = -7 получим знакочередующийся ряд , для которого не выполняется признак сходимости Лейбница . Значит, и при x = -7 данный степенной ряд расходится. Таким образом, исходный степенной ряд сходится в интервале .

Замечание. Область сходимости степенного ряда можно находить и как для произвольного функционального ряда . В этом примере . По признаку Д'аламбера

. Отсюда . Далее, как и выше, последует сходимость в точках и .

Задание 6.10. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Искомое разложение можно найти с помощью формулы

положив в ней и вычислив значения производных функции при . Но проще получить разложение, используя известное разложение для функции

в котором ряд справа сходится к функции в интервале (-1,1).

Представим . Применяя указанное разложение, получим

Так как, ряд, который использовали для разложения, сходится для , то данный ряд сходится для , отсюда . Таким образом, полученный степенной ряд является рядом Тейлора функции в окрестности точки и его областью сходимости является интервал (-6,0).

Задание 6.11. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001.

Решение. Воспользуемся рядом Маклорена для , тогда .

Почленно интегрируя этот ряд в промежутке [0;0.5], получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность, происходящая от отбрасывания всех членов ряда, начиная с четвертого , поэтому, чтобы достичь требуемой точности достаточно взять три первых слагаемых

Задание 6.12. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Задание 6.13. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в интервале (0; ), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждого продолжения.