Главная | Обратная связь

Электромагнитные колебания

 

Свободные незатухающие колебания в L-C контуре

Простейшей системой, в которой возникают электромагнитные колебания, является электрическая цепь, состоящяя из конденсатора С и катушки индуктивности L (L-С контур) - рис. 8.

 

Рис. 8.

 

Если пренебречь активным сопротивлением (R = 0), то в L-C контуре возникают свободные незатухающие колебания.

Рассмотрим, как в такой системе возникает колебательный процесс.

Для наглядности удобно воспользоваться аналогией с какой-либо механической системой, например пружинным маятником. Напомним, что для возникновения свободных незатухающих колебаний необходимо, чтобы после выведения из положения равновесия (т.е. передачи энергии извне) в системе возникала возвращающая упругая или квазиупругая сила, а силы трения в ней либо малы, либо вовсе отсутствуют.

Передадим энергию в L-C контур, зарядив конденсатор:

W = CU²/2 = q²/2C. (19)

После подключения к заряженному конденсатору катушки индуктивности, он начнет разряжаться и в цепи появится ток I. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. На рис.8 показана фаза перезарядки конденсатора. В отсутствие активного сопротивления (R = 0), закон Ома (IR = j₁ - j₂ + e₁₂) для такой цепи можно записать как

0 = - q/C - L(dI/dt), (20)

где разность потенциалов на обкладках конденсатора U = j₁ - j₂ = - q/C,

а ЭДС – есть ЭДС самоиндукции e_s = - L(dI/dt).

Учитывая, что I = dq/dt, ур-е (20), преобразуем к виду

d²q/dt² + w₀²q = 0, (21)

где w₀² = 1/ LC.

Видно, что ур.(21) аналогично ур.2а, т.е. соответствует незатухающим гармоническим колебаниям заряда:

q = q₀ cos (w₀t + a). (22)

В (22) и далее амплитудные значения будут обозначаться как q₀, U₀ и т.д.

Собственная частота контура: w₀ = 1/ .

Соответствующее выражение для периода колебаний называется формулой Томсона:

T= 2p . (23)

Напряжение (разность потенциалов) на конденсаторе и ток через катушку индуктивности:

U = q/С = U₀ cos (w₀t + a), (24)

U₀ =q ₀ /C,

I = dq/dt = - w₀ q₀ sin(w₀t + a) = I₀ cos (w₀t + a + p/2), (25)

I₀ = w₀q₀.

Видно, что сила тока по фазе опережает напряжение на конденсаторе. Следовательно, в момент времени, когда заряд (напряжение) на конденсаторе достигает максимальной величины, сила тока равна нулю и наоборот.

Таким образом, в L-C контуре возникают гармонические колебания заряда конденсатора и разности потенциалов (напряжения) на его обкладках, а также силы тока, текущего через катушку индуктивности. Одновременно с этим периодически (с частотой вдвое большей, чем для колебаний q и I) изменяется энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе (q² /2C) , и энергия магнитного поля, созданного током, текущим через катушку индуктивности (LI²/2).

Известно, что превращение энергии из одной формы в другую происходит при совершении работы. В данном случае эта работа есть:

DA = qe_s (26)

и совершается силами вихревого электрического поля. При разрядке конденсатора (q²/2C ® LI²/2) эта работа отрицательна (против э.д.с. самоиндукции e_s), а при его зарядке (LI²/2 ® q²/2C) положительна.

В механической колебательной системе взаимное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно происходит за счет работы упругой (квазиупругой) силы; знак работы зависит от направления процесса. Таким образом, напряженность вихревого электрического поля Е в известной степени является аналогом упругой силы в механических системах. Сопоставив колебания в L-C контуре с колебаниями пружинного маятника, можно провести и другие аналогии:

Маятник L-C контур