 |
|
Комплексная плоскость. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.
На рис.7 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть.
Рис.7
На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений 
(1) 
- формула Эйлера
Комплексное число 
изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол 
отсчитываем против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции 
Проекция функции 
на ось +1 равна 
, а на ось +j равна 
. Если вместо функции взять функцию 
то 
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция изображается под углом к оси +1, но длина вектора будет в 
раз больше.
Угол а в формуле (1) может быть любым. Положим, что 
т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда 
(2)
Слагаемое 
представляет собой действительную часть (Re) выражения 
.
(3) 
а функция 
есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения 
(3a)
Таким образом, синусоидально изменяющийся ток I можно представить как 
или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора 
на ось +j (рис.8).
Рис.8
С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени 
При этом вектор 
(4)
где 
— комплексная величина, модуль которой равен 
— угол, под которым вектор 
проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.
Величину называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени 
Точка, поставленная над током 
или напряжением 
означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.
Поясним сказанное. Пусть ток 
Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае 
Следовательно, 
Пусть комплексная амплитуда тока 
Запишем выражение для мгновенного значения этого тока.
Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим 
и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения : 
Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) понимают частное отделения комплексной амплитуды на 