Главная | Обратная связь

Алгебраическая форма комплексного числа

z=(a,b) ℂ: z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) a+bi, где a,b ℝ.

Определение 4. Представление комплексного числа z=(a,b) в виде z=a+bi, где a,b ℝ, i²=-1, называется алгебраической формой комплексного числа z; а называется действительной частью комплексного числа z, b – мнимая частью комплексного числа z, элемент i называется мнимой единицей.

Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть z₁=a+bi, z₂=c+di.

1. Сложение: z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i.

2. Умножение: z₁ z₂=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Определение 5. Пусть z=a+bi ℂ. Комплексное число =a-bi называется комплексно сопряженным с числом z.

3. Деление:

z₁:z₂=(z_{1 2}): (z_{2 2})= = = .

4. Извлечение квадратного корня:

Пусть z=a+bi. Найдем :

пусть =x+yi z=(x+yi)², т.е. a+bi=(x²+y²)+2xyi .

Таким образом, нахождение сводится к решению системы уравнений .

31. Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z=(а;b) соответствует на плоскости в декартовой системе координат точка с координатами (а;b). Верно и обратное. Каждой точке на плоскости в декартовой системе координат соответствует упорядоченная пара действительных чисел, то есть соответствует некоторое комплексное число. Таким образом, между множеством ℂ и множеством всех точек плоскости существует взаимно однозначное соответствие. Это означает, что мы можем считать, что каждое комплексное число изображается точкой на плоскости. Поэтому, плоскость также называют комплексной плоскостью.

 

Пусть z=(а;b)=а+bi. Изобразим число z на плоскости:

b .М (а;b)

0 а

 

Любая точка на плоскости может определяться не только своими декартовыми координатами, но и координатами, которые называются полярными: М(r; ), где r=|ОМ|, – угол между Ox и ОМ.

Таким образом, каждое комплексное число должно однозначно определяться своими полярными координатами r и .

Определение 6. Модулем комплексного числа z=а+ib называется длина радиус-вектора ОМ точки М (а;b), и обозначается |z|=r.

Из ОАМ r = a²+b² (1).

Определение 7. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол между положительным направлением оси Ox и радиус-вектором ОМ точки М (а;b), и обозначается arg z= .

Аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до 2 . Значение аргумента, принадлежащее интервалу [0; 2 ] называется главным значением аргумента, и обозначается Arg z.

аrg z=Arg z+2 k , k ℤ.

Из ОАМ сos =a/r

sin =b/r (2).

Таким образом, z =a+ib = r cos + r sin i = r (cos +i sin ).

Запись z=r (cos +i sin ) (3) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Замечание. Для комплексного числа 0 модуль равен нулю, а аргумент не определяется. Поэтому тригонометрической формой числа 0 является следующая запись: 0= 0 (cos +i sin ), где - произвольный угол.

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть z₁ = r₁ (cos ₁+isin ₁), z₂ = r₂ (cos ₂+ isin ₂).

1) Умножение комплексных чисел:

z₁ z₂ =r₁ r₂ ((cos ₁ cos ₂ –sin ₁ sin ₂ ) + ( sin ₁ cos ₂ + sin ₂ cos ₁ )) = r₁ r₂ (cos ( ₁ + ₂ )+i sin ( ₁ + ₂ )).

Таким образом, z₁ z₂ = r₁ r₂ (cos ( ₁ + ₂ ) + i sin ( ₁ + ₂ )) (4).

2) Деление комплексных чисел: пусть z₂ 0. Тогда

=

=

= (cos ( ₁ - ₂ )+i sin ( ₁- ₂ )).

Таким образом, = (cos ( ₁ - ₂ )+i sin ( ₁- ₂ )) (5) .

3) Возведение в степень:

Пусть z = r (cos +i sin )

z² = z z= r² (cos2 +i sin2 ) и т.д.

Методом математической индукции можно доказать, что

zⁿ = rⁿ (cos(n )+i sin(n )), n ℕ (6).

Формула (6) называется формулой Муавра.

Определение 8. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число z₀, что z₀ⁿ = z , = z_0.

4) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа z: пусть z .

Найдём z₀. Пусть z₀=r₀ (cos ₀+isin ₀)

(r₀ (cos ₀+isin ₀)) ⁿ = r (cos +isin ) r₀ⁿ=r

r₀ⁿ (сos (n ₀ ) + isin (n ₀ ))= r (cos +isin ) n ₀ = +2 k , k ℤ

r₀ =

₀ = , k ℤ.

Пусть k=0: ₀₁ = ;

Пусть k=1: ₀₂ = ;

Пусть k=2: ₀₃ = ;

Пусть k=n-1: ₀₄ = +2 - ;

Пусть k=n: ₀₅ = = +2 = _{0 1};

Пусть k=n+1: ₀₆ = +2 + = ₀₂ и т. д.

Таким образом, = (cos +i sin ), k= (7) .

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n значений z₀,z₁,z₂,…,z_n , которые на комплексной плоскости располагаются на окружности радиуса

и делят окружность на n равных частей.

32. Корни n-й степени из единицы

Теорема 1. Корни n-й степени из единицы образуют мультипликативную абелеву группу порядка n.

Теорема 2. Если одно из значений корня n-ной степени из комплексного числа умножить на каждое из значений корня n-ной степени из 1, то получим все значения корня n-ной степени из z.

Доказательство. Пусть - множество всех значений корня n-ной степени из z, - множество всех значений корня n-ной степени из 1. Пусть , где и . Покажем, что .

1) Покажем, что . Пусть , где . Покажем, что . Достаточно показать, что . Действительно,

.

2) Покажем, что . По заданию , не больше n, т.е. . Таким образом, . Допустим, что и , но . Рассмотрим слева, . Противоречие, не меньше .

Из 1) и 2) . Теорема доказана.

Первообразные корни

Пустъ ε_k – корень m-ой степени из 1.

Пусть , где n,m,l N. Тогда ^m)^l=1^l=1, Þ e_k – корень n-ой степени из 1.

Таким образом, корень n-ной степени из 1 может оказаться корнем из 1 и другой степени, меньшей n.

Например, найдём и .

=cos +i×sin , k= e0¢=cos(0)+i×sin(0) e1¢=cos +i×sin e2¢=cos +i×sin	=cos +i×sin , k= e0=cos(0)+i×sin(0) e1=cos +i×sin e2=cos +i×sin e3=cos +i×sin e4=cos +i×sin e5=cos +i×sin

Корни ε₀, e₂ и e₄ шестой степени из 1 являются также корнями третьей степени из 1.

Определение 1. Корень e_k n-ой степени из 1 называется первообразным корнем n-ой степени из 1, если e_k не является корнем из 1 никакой степени меньшей чем n.

Из примера следует, что e₀, e₂, e₄ не являются первообразными корнями шестой степени из 1.

Теорема 3. Корень e₁ n-ой степени из 1 является первообразным, где n N.

Доказательство. Допустим, что ε₁ не является первообразным корнем из 1 n-ой степени, тогда $ m N и m<n, такое что ε₁ - корень m-ой степени из 1.

Рассмотрим ε₁ : .

Так как , то , , k , , Þ . Противоречие с тем, что m<n, Þ ε₁ - первообразный корень n-ной степени из 1. Теорема доказана.

Теорема 4. Корень ε_k n-ой степени из 1 является первообразным корнем n-ой степени из 1 Û k и n имеют наибольший общий делитель равный 1, то есть .

Из теоремы Þ ε₃ :

ε₅: - первообразный корень шестой степени из 1.

Таким образом, имеет 2 первообразных корня: ε₁ и ε₅.

Теорема 5. Если первообразный корень ε_k n-ной степени из 1 возвести в степени, то получим все корни n-ной степени из 1.