 |
|
Вопрос 11 – Понятия «лингвистическая переменная» и «нечеткое множество». Операции, выполняемые над нечеткими множествами.
Лингвистическая переменная (ЛП) – переменная, значение которой определяется набором качественных характеристик (значений) некоторого свойства. Например, ЛП «рост» определяется через набор {карликовый, низкий, средний, высокий, гигантский}.
Значение ЛП определяется через так называемые нечеткие множества (НМ). Каждое значение ЛП определяется как нечеткое множество (например, НМ «низкий рост»).
Нечеткое (размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) множество определяется через некоторую базовую шкалу X и функцию принадлежности (характеристическую функцию) m(х), х Î Х. При этом, если в классическом канторовском множестве элемент либо принадлежит множеству (m(х) = 1) либо не принадлежит (m(х) = 0), то в теории нечетких множеств m(х) может принимать значения в интервале [0, 1]. Над нечеткими множествами можно выполнять стандартные операции: дополнение (отрицание), объединение, пересечение, разность и т.д.
С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке 
. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение 
— степенью принадлежности элемента 
нечеткому множеству 
.
Более строго, нечетким множеством называется совокупность пар
где 
— функция принадлежности, т.е. 
.
Пусть, например,
Будем говорить, что элемент 
не принадлежит множеству , элемент 
принадлежит ему в малой степени, элемент 
более или менее принадлежит, элемент 
принадлежит в значительной степени, 
является элементом множества .
Ниже приведены некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечеткими множествами.
1. Дополнение нечеткого множества 
обозначается символом 
(или иногда 
) и определяется следующим образом:
Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Так, например, если — название нечеткого множества, то «не » понимается как .
2. Объединение нечетких множеств и 
обозначается 
(или, что более привычно, 
) и определяется следующим образом:
Объединение соответствует логической связке «или». Так, если, например, и — названия нечетких множеств, то запись « или » понимается как .
3. Пересечение и обозначается 
и определяется следующим образом:
Пересечение соответствует логической связке «и», т. е.
4. Произведение и обозначается 
и определяется формулой
(3.37)
Таким образом, любое нечеткое множество 
, где 
— положительное число, следует понимать так:
Частными случаями операции возведения в степень являются операция концентрирования, определяемая следующим образом
(3.40)
и операция растяжения
(3.41)
Как будет показано в §6, операции концентрирования и растяжения полезны в представлении лингвистических неопределенностей.
Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное "КРАСИВЫЙ" отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, которое является ограничением, обусловленным нечеткой переменной "КРАСИВЫЙ". С этой точки зрения термины "ОЧЕНЬ КРАСИВЫЙ", "НЕКРАСИВЫЙ", "ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО КРАСИВЫЙ", "ВПОЛНЕ КРАСИВЫЙ" и т.п. — названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов "ОЧЕНЬ, НЕ, ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО, ВПОЛНЕ" и т.п. на нечеткое множество "КРАСИВЫЙ". В сущности, эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством "КРАСИВЫЙ" играют роль значений лингвистической переменной "ВНЕШНОСТЬ".
Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменнойявляются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если 
— название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:
1. Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной;
2. Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.
Определение. Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств 
, в котором:
— название переменной;
обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества 
с базовой переменной 
;
— синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;
— семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл 
, т.е. нечеткое подмножество универсального множества .
Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм, который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом.