Системы счисления. Перевод чисел из одной системы в другую.
Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные. Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b>1, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b: x = \sum_{k=0}^{n-1} a_kb^k, где a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leqa_k \leq (b-1). Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); 3 — троичная; 8 — восьмеричная; 10 — десятичная (используется повсеместно); 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами); 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике); 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты). В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа. В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел \{b_k\}_{k=0}^{\infty}, и каждое число x в ней представляется как линейная комбинация: x = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k, где на коэффициенты a_{k}, называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения. В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд)[1], например 0b101 или соответственно &101. В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один». Преобразование десятичных чисел в двоичные Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой : 19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 без остатка 0 2 /2 = 1 без остатка 0 1 /2 = 0 с остатком 1 Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011. Преобразование двоичных чисел в десятичные Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода вдесятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом: 1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49 То же самое чуть иначе: 1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49 Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 0 0 0 1 +32 +16 +0 +0 +0 +1 Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|