Основы математической логики. Логические законы.
Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого «logos», означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон". Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики. Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются. Суждения рассматриваются не с точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов. "Дважды два равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное. Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные состоят из нескольких простых суждений. Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод). Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда и умозаключение будет истинным. Иначе можно прийти к ложному умозаключению. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний или алгебра логики. 2. Логические выражения и логические операции Логическое выражение - это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками). В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные буквами латинского алфавита. Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности переменных: Истина Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение. Логическое отрицание (инверсия). В обыденной речи мы часто пользуемся словом "НЕ", или словами "НЕВЕРНО, ЧТО", когда хотим что-то отрицать. Пусть, например, кто-то сказал: "Тоска зеленая." (Обозначим это высказывание А). Если Вы не согласны, Вы скажете: " Тоска НЕ зеленая." Или: " Неверно, что тоска зеленая." (Ваше высказывание обозначим В). Нетрудно заметить, что значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот. Операция, с помощью которой из высказывания А получается высказывание В, называется логическим отрицанием и само высказывание В называется отрицанием высказывания А и обозначается . Логическое умножение (конъюнкция) от латинскогоconjunctio - союз, связь. Если два высказывания соединены союзом "И", то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза "И" сложное высказывание также считается ложным. Например, возьмем два высказывания: "У кота есть хвост" (А), "У зайца есть хвост" (В). Сложное высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В. Но если взять другие высказывания: "У кота длинный хвост" (С), "У зайца длинный хвост" (D), то сложное высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" будет ложным, т.к. ложно высказывание (D). Таким образом, исходя из обычного смысла союза "И", приходим к определению соответствующей логической операции - конъюнкции. Таким образом, конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Конъюнкцию высказываний А и В мы обозначим: A & B. Знак & - амперсант - читается как английское "and" (помните Procter&Gamble или Wash&Go?). Логическое сложение (дизъюнкция) от латинскогоdisjunctio - разобщение, различие. Если два высказывания соединены союзом "ИЛИ", то полученное сложное высказывание обычно считается истинным, когда истинно, хотя бы одно из составляющих высказываний. Например, возьмем два высказывания: "Мел черный." (А), "Доска черная." (В). Высказывание "Мел черный или доска черная" будет истинным, т.к. одно из исходных высказываний (В) истинно. Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание): А = . Переместительный (коммутативный) закон: для логического сложения: А Ú B = B Ú A; для логического умножения: A & B = B & A. Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. Сочетательный (ассоциативный) закон: для логического сложения: (А Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C); для логического умножения: (A & B) & C = A & (B & C). При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. Распределительный (дистрибутивный) закон: для логического сложения: (А Ú B) & C = (A & C) Ú (B & C); для логического умножения: (A & B) Ú C = (A Ú C) & (B Ú C). Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку. Закон общей инверсии (законы де Моргана): для логического сложения: = &; для логического умножения: = Ú Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный): для логического сложения: А Ú A = A; для логического умножения: A & A = A . Закон означает отсутствие показателей степени. Законы исключения констант: для логического сложения: А Ú 1 = 1, А Ú 0 = A; для логического умножения: A & 1 = A, A & 0 = 0. Закон противоречия: A & = 0. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными. Закон исключения третьего: A Ú = 1. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано. Закон поглощения: для логического сложения: А Ú (A & B) = A; для логического умножения: A & (A Ú B) = A. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|