Умножение ряда на число и сложение рядов
Пусть дан ряд . (1) Определение.Умножить ряд (1) на число c- это значит умножить каждый член ряда (1) на число с. Теорема 2.Если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2), полученный из ряда (1) умножением его на число с, причем сумма ряда (2) будет c×S, где S- сумма ряда (1). Доказательство:Нам дано, что . Обозначим через частичную сумму ряда (2): . Откуда .¨ Теорема 3.Если ряд (1) расходится и c¹0, то и ряд (2) тоже расходится. Доказательство:Допустим, что ряд (2) сходится. Тогда, умножив ряд (2) на число 1/c, мы получим ряд (1), который в силу теоремы 2 будет сходиться. Полученное противоречие и означает, что ряд (2) расходится. ¨ Рассмотрим наряду с рядом (1) ряд . (3) Определение.Суммой рядов (1) и (3) будем называть ряд . (4) Разностью рядов (1) и (3) будем называть ряд . (5) Теорема 4. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы соответственно равны А и В, то ряды (4) и (5) также сходятся и их суммы соответственно равны А+В и А-В. Доказательство: Нам дано: . Обозначим через частичную сумму ряда (4): . Переходя к пределу при n®¥, имеем . Аналогично доказывается для разности рядов.¨ Замечание.Теорема 3 справедлива и в случае сложения (разности) любого конечного числа сходящихся рядов. 1.4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Теорема 5.Если ряд (1) сходится, то . Доказательство:Нам дано: . Из того, что , имеем: .¨ Необходимый признак сходимости числовых рядов можно использовать для установления расходимости ряда. В самом деле, если для какого-либо ряда , то ряд будет расходиться, т.к. если допустим, что ряд сходится, то по необходимому признаку сходимости мы должны получить, что , а это невозможно. Теорема (Достаточный признак расходимости ряда).Если ряд (1) таков, что , то данный ряд расходится. Следует твердо помнить, что необходимый признак сходимости рядов не является достаточным, т.е. даже при его выполнении ряд может расходиться. Примером такого ряда является гармонический ряд: (2). Покажем, что хотя , но , т.е. гармонический ряд расходится. Для этого рассмотрим последовательность с общим членом , для которого . При доказательстве второго замечательного предела было показано, что возрастая, т.е. при любом n: . Прологарифмируем последнее неравенство по основанию e: , т.е. . (3) Учитывая неравенство (3), имеем … … Сложив почленно все эти неравенства, получим: . Т.к. , то подавно , т.е. гармонический ряд расходится. 1.5. Ряды с положительными членами. Определение.Положительным рядом называется ряд вида , (1) где все . Для рядов с положительными членами последовательность (Sn) частичных сумм является возрастающей последовательностью. В самом деле, рассмотрим Sn+1 и Sn: Sn+1=Sn+an+1 ; следовательно Sn+1 ³ Sn , т.к. an+1³0. Если вспомним теорему о пределе монотонной последовательности, то для сходимости последовательности частичных сумм достаточно, чтобы эта последовательность была ограничена сверху. Приходим к следующей теореме. Теорема 6 (необходимый и достаточный признак сходимости положительного ряда).Для сходимости положительного ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Доказательство: Откуда получаем, что для . Обозначим через М наибольшее из чисел S+e,S1,S2,…,SN(e) : Достаточность: Т.к. - монотонная и ограниченная сверху последовательность, то по теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности имеем: - т.е. ряд (1) сходится.¨ Доказанная теорема непосредственно редко применяется на практике, но все достаточные признаки сходимости положительных рядов выводятся на основе этой теоремы. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|