Глава 2. Функциональные последовательности и ряды.
2.1. Функциональные последовательности. Рассмотрим функциональную последовательность (ФП) , (1), где - функции, заданные на общем множестве Х. При каждом конкретном имеем числовую последовательность: , которая может сходиться или расходиться. Если она сходится, то говорят, что ФП (1) сходится в точке x’. Определение. Множество всех , в которых ФП (1) сходится, называют областью сходимости ФП (1). Пусть Е - область сходимости ФП (1). Ясно, что . В этом случае говорят, что ФП (1) сходится на множестве Е. При каждом получается числовая последовательность , сходящаяся к некоторому числу, зависящему от x, обозначим его через . Получается функция , определенная на множестве Е. Ее называют предельной функцией для ФП (1). Представляет интерес вопрос: сохраняются ли функциональные свойства функции (переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость) после перехода к предельной функции .Примеры показывают, что в общем случае это не имеет место. Пример . Рассмотрим ФП на множестве . Очевидно, . а) при б) при . Следовательно, т.е. предельная функция уже не является непрерывной - в точке терпит разрыв. Оказывается, что сохранение функциональных свойств функции после перехода к предельной функции будет обеспечено при особом характере сходимости ФП (1) на всем множестве Е. Пусть ФП (1) сходится на множестве Е к предельной функции . Это значит, что при каждом конкретном числовая последовательность сходится к числу , именно
где номер N зависит не только от e, но и от x’, т.е. для каждого x’ находится, вообще говоря, свой номер N. Может оказаться, что можно найти один номер , годный сразу для всех одновременно, т.е. такой номер , что какое бы ни взять, всегда В этом случае говорят, что ФП (1) к предельной функции сходится равномерно на множестве Е. Определение 1. Пусть ФП (1) сходится на множестве Е к предельной функции . Если для любого можно найти номер такой, что при всех выполняется неравенство сразу для всех одновременно, то говорят, что ФП (1) сходится к равномерно на множестве Е и пишут: на Е:
В противном случае, если для какого-либо не существует номера N, который бы при обеспечивал неравенство для одновременно, говорят, что ФП сходится к предельной функции неравномерно. Замечание 1.Как известно, если , то ; обратно, очевидно: . Следовательно, эти два утверждения равносильны: . Поэтому вместо условия можно взять . Тогда получаем:
или, если обозначим , то . Дадим теперь равносильное Определение 2. Если на множестве Е, то говорят, что на Е, если , т.е. . Замечание 2.Из определений видно, что говорить о равномерной сходимости в одной отдельно взятой точке не имеет смысла, т.к. это понятие относится ко всему множеству Е в целом. В отличии от равномерной сходимости сходимость в каждой отдельной точке называют поточечной сходимостью. Определения предполагают, что равномерная сходимость возможна только при поточечной сходимости, т.е. если ФП равномерно сходится на Е, то она сходится в каждой отдельной точке Е. Обратное, вообще говоря, неверно: поточечная сходимость еще не влечет равномерной сходимости. Пример 1: , . – предельная функция, следовательно, поточечная сходимость имеется. На чертеже показана сходимость функциональной последовательности в конкретной точке (будет ли равномерной?). -? непрерывны на и согласно 2-й теореме Вейерштрасса Исследуя при помощи производной, находим что . Таким образом сходимость равномерная. Пример 2 (покажем, что равной сходимости нет). , - как в примере 1 предельная функция тажа: , т.е. поточечная сходимость есть. , но здесь: не стремится к 0 сходимость неравномерная. Если, например, возьмем , то не найдется номера N который бы сразу для всех обеспечивал при неравенства . В самом деле: какой бы N ни взять всегда при это неравенство выполняется не для всех одновременно, именно, для оно не выполнится: . Здесь при каждом соответствующие точки на графиках неограниченно приближаются к точкам , однако при весь график сразу по всему участку: всегда остается просвет между границами (высотой ½). Отметим, что в других случаях подобный просвет может даже возрастать до . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|