Главная | Обратная связь

Достатні ознаки збіжності позитивних числових рядів.

Ряди

Числові ряди. Основні визначення.

Нехай a₁ , a₂, …, a_п , …- числова послідовність.Сума членів послідовності

a₁ + a₂+…+ a_п + …= (8.1)

називається числовим рядом.

Кінцеві суми =, n = 1,2,3,…

називаються частковими сумами ряду (8.1).

Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум , то ряд називається збіжним, а число S - сумою ряду.

=S або . (8.2)

Якщо не існує кінцевої границі послідовності часткових сум , то ряд називається розбіжним.

Ознаки збіжності ряду

Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то необхідно, щоб загальний член a_n прямує до нуля, тобто .

Достатня умова розбіжності числового ряду. Якщо або ця границя не існує, то ряд розбігається.

Достатні ознаки збіжності позитивних числових рядів.

Ознаки порівняння з «еталонним» рядом:

1. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0 ) і виконується нерівність a_n £ b_n при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а з розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

2. Якщо для позитивних рядів і існує кінцева і відмінна від нуля

границя , то ряди і одночасно збігаються або розбігаються.

«Етолонні» ряди:

1) Розбіжний гармонійний ряд ;

2) Узагальнений гармонійний ряд ;

3) геометричний ряд .

3. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0 ) і виконується нерівність при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а із розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

Приклади:

1.Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а гармонійний ряд розбігається, то розбігається також і ряд .

2.Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а ряд збігається (як убиваюча геометрична прогресія), то ряд теж збігається.

3.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із збіжним рядом , загальними членами цих рядів

являються і . Застосовуємо граничну ознаку порів-няння . Ряд збігається.

4.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

5.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

Ознака Даламбера

Нехай для позитивного ряду існує границя . Тоді ряд збігається при l < 1 і розбігається при l >1.

Приклади:

1.Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

2.Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера . Ряд розбігається.

3.Дослідити на збіжність ряд

За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

4.Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера

= . Ряд збігається.