Главная | Обратная связь

Обзор задач линейной алгебры. Уточнение эл-ов приближ. обратной ма-цы .

Выделяют 4 основные за-чи лин. алгебры:реш-е лин.ур-ий Ах=b, где А-квадр.м-ца и х,b-век-ры; вычисление определителя; нах-ние обрат. м-цы; опред-е собственных знач-й и собств. векторов м-цы. Если detA=0,то СЛУ или не имеет реш-я, или имеет бесчислен-е мн-во ре-ий. Если же detA≠0, то с-ма им. ед.реш-е. Для реш-я СЛАУ используют как прямые(кот. требуют для достижения рез-та конечного числа операций), так и итер.методы(кот. позволяют получать реш-я в в виде бескон. послед-ти приближ. реш-ий).

Определитель и обратная матрицалегко вычисляются с использованием метода Гаусса, поскольку м-ца сводится к трехдиагональной, а ее опреде­литель равен произведению диаго­нальных элементов: , где знак зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк. Для выч-я обратной м-цы используетя соотношение . Рас-м , где , тогда – это n с-м с n² неизвестных, а x_ppk – элементы обратной м-цы.

Собствен-е зн-я и в-ры.Собственным вектором линейного оператора A называется такой ненулевой вектор х, что для некоторого λ выполняется

Ax = λx. Собственным значением линейного оператора A называется такое число λ, для которого существует собственный вектор х, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение, х≠0. Преобразуем равенство: .Тогда решаем , откуда находим собственные зн-я. Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить линейному оператору квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен

Множество всех собственных значений назыается спектром. После того, как спектр будет вычислен ,мы можем найти соответствующие им собст.в-ры.

Уточнение прибл.обр.м-ц. Пусть обрат.м-ца найдена каким-либо прямым методом. Если величина , то даннае качество обр.м-цы нас устраивает.Если нет, то уточняем др.методом: , , где -очередное n-ое приближение . . Тогда .