 |
|
Интегральный признак Коши
Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.
В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак совсем примитивно, но понятно. И сразу примеры для пояснения.
Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд 
. Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Пример 11
Исследовать ряд на сходимость 
Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.
Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: 
, и у нас как раз такой канонический случай.
Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: 
. Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»: 
. Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала: 
.
Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:
1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд .
2) Если выяснится, что интеграл расходится, то наш ряд тоже будет расходиться.
Повторюсь, если материал запущен, то чтение параграфа будет трудным и малопонятным, поскольку применение признака по сути дела сводится к вычислению несобственного интеграла первого рода.
Полное решение и оформление примера должно выглядеть примерно так:
Используем интегральный признак:
Подынтегральная функция непрерывна на 
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Пример 12
Исследовать ряд на сходимость 
Решение и образец оформления в конце урока
В рассмотренных примерах логарифм также мог находиться под корнем, это не изменило бы способа решения.
И еще два примера на закуску
Пример 13
Исследовать ряд на сходимость 
По общим «параметрам» общий член ряда вроде бы подходит для использования предельного признака сравнения. Нужно всего лишь раскрыть скобки 
и сразу сдать на кандидата предельно сравнить данный ряд со сходящимся рядом 
. Впрочем, я немного слукавил, скобки можно и не раскрывать, но всё равно решение через предельный признак сравнения будет выглядеть довольно вычурно.
Поэтому мы используем интегральный признак Коши:
Подынтегральная функция непрерывна на 
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
! Примечание: полученное число 
– не является суммой ряда!!!
Пример 14
Исследовать ряд на сходимость 
Решение и образец оформления в конце урока, который подходит к концу.
Решения и ответы:
Пример 3: Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Примечание: Можно было использовать и «турбо»-метод решения: сразу обвести карандашом отношение 
, указать, что оно стремится к единице и сделать пометку: «одного порядка роста».
Пример 5: Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
Пример 8:
Используем радикальный признак Коши.
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
Пример 10:
Используем радикальный признак Коши.
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Примечание: Здесь основание степени 
, поэтому 
Пример 12:
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на .
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Пример 14:
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на .
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Примечание: Ряд также можно исследовать с помощью предельного признака сравнения. Для этого необходимо раскрыть скобки под корнем 
и сравнить исследуемый ряд с расходящимся рядом 
.