Исследование функций методами
Дифференциального исчисления Интервалы монотонности функции Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Монотонность функции характеризуется знаком первой производной . Если в некотором интервале >0 ( <0), то функция возрастает (убывает) в этом интервале. Рассмотрим примеры. 1. Даны функция и точки . В каких из перечисленных точек функция возрастает? Убывает?
Решение. Найдем производную заданной функции: . При >0 - функция возрастает, при <0 - функция убывает, при >0 - функция возрастает, при <0 - функция убывает. 2. Найти интервалы возрастания и убывания функции , если . Решение. Найдем производную заданной функции: . В промежутке производная >0 поэтому функция возрастает, а в промежутках и производная <0 – функция убывает. 3. Определить характер монотонности функции в промежутке . Решение. Найдем производную: . При производная >0 функция возрастает. При производная >0 – функция возрастает. Следовательно, функция возрастает во всей области определения.
Решить следующие задачи. Убедиться, что функция в интервале < <3 убывает. Определить интервалы убывания и возрастания функции . (Ответ: при x<0 функция убывает, при x>0 - возрастает.) Определить, при каких значениях функция убывает. (Ответ: при любом функция убывает). Проверить, во всем ли интервале функция возрастает. (Ответ: при функция убывает). Определить интервал возрастания функции . (Ответ: при x>0 функция возрастает). Найти интервалы возрастания и убывания функции . (Ответ: в интервале и функция возрастает; в интервале - убывает). Найти интервалы монотонности функции . (Ответ: интервал возрастания , интервал убывания )
Экстремум функции Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство < (максимум) или > (минимум). Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции. Правило отыскания экстремумов функции: 1. Вычислить производную . 2. Составить уравнение =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции. 3. Установить знак производной слева и справа от критической точки. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум. Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум. Рассмотрим примеры. 1. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Находим первую производную заданной функции: . Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: , значение является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если , то <0. Если , то >0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке функция имеет минимум, значение которого . 2. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Так как - периодическая функция с периодом , то достаточно найти экстремумы на отрезке . Дифференцируя, получим . Производная существует на всем отрезке и обращается в нуль в точках . Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной в каждой из полученных точек. Имеем:
Отсюда следует, что
3. В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема. Обозначим высоту, радиус основания и объем цилиндра соответственно через . Объем цилиндра рассчитывается по формуле . Из геометрических построений видно (рис. 1), что , тогда формула для расчета объема будет иметь вид . Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции в промежутке . Найдем производную: . Приравнивая нулю , получим единственную критическую точку , принадлежащую рассматриваемому промежутку , в которой объем и принимает наибольшее значение . В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого . 4. На какой высоте над центром круглого стола радиусом R следует поместить электрическую лампочку, сила света которой J, чтобы освещенность E края стола была максимальной? Решение. Освещенность вычисляется по формуле , где значения и определяются, исходя из рис.2. За независимую переменную примем угол и,
учтя, что , получим . Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке изменения независимой переменной . Дифференцируя , получим . Решая уравнение , находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку: . Следовательно, при освещенность будет наибольшей, поэтому . Это и есть искомая величина.
Исследовать на экстремум следующие функции. 3.8. . (Ответ: при функция имеет минимум). 3.9. . (Ответ: при функция имеет максимум). 3.10. . (Ответ: при функция имеет минимум). 3.11. . (Ответ: при функция имеет максимум, при - минимум). 3.12. . (Ответ: при функция имеет минимум, при - максимум). 3.13. . (Ответ: при функция имеет минимум). 3.14. >0. (Ответ: при функция имеет минимум, при - максимум). Исследовать функцию на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при функция имеет минимум; ). Секундный расход воды при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле , где - диаметр отверстия, - глубина его низшей точки, - некоторая постоянная. При каком значении секундный расход воды является наибольшим? (Ответ: при ). Показать, что мощность тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению самого элемента. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Уравнение движения тела . Будет ли тело подниматься или опускаться в момент с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени с; м). Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону , где - постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; и - начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент. (Ответ: ; ). В последовательной реакции концентрация промежуточного вещества зависит от времени по закону , где - постоянные величины ( > . Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума? (Ответ: ; ). В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра. (Ответ: высота равна ).
ГЛАВА 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ[4]
§1. Непосредственное интегрирование. Функция называется первообразной для функции , если или .
Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым С. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции: ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|