Главная | Обратная связь

Основные свойства неопределенного интеграла

 

1. или

 

2.

 

3.

 

4.

 

Таблица простейших интегралов
1.		7.
2.		8.
3.		9.
4.		10.
5.		11.
6.		12.

 

Проинтегрировать функцию значит найти её неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

 

Рассмотрим следующие примеры:

 

1). Найти интеграл

.

Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных выражений:

 

Через С обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся при интегрировании каждого слагаемого.

 

2). Вычислить интеграл

 

Представим подынтегральную функцию следующим образом:

Тогда

 

3). Найти интеграл

 

Представим подынтегральную функцию в таком виде:

 

Подставим полученное выражение :

 

 

4). Вычислить интеграл

 

Преобразуем подынтегральную функцию таким образом:

 

Подставляя полученную функцию, вычисляем интеграл:

 

Используя правила интегрирования и таблицу интегралов найти следующие интегралы:

 

 

4.1		4.11
4.2		4.12
4.3		4.13
4.4		4.14
4.5		4.15
4.6		4.16
4.7		4.17
4.8		4.18
4.9		4.19
4.10		4.20

 

Интегрирование способом подстановки

(метод замены переменной).

 

Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную функцию, свести интеграл к табличному виду.

 

Например:

 

1). Найти интеграл

Подстановка 2x=U приводит рассматриваемый интеграл к табличному, причем dU=2dx Þ

Тогда

 

Возвращаясь к первоначальной переменной интегрирования х, окончательно получим:

.

2). Найти интеграл

.

Полагая , имеем . Из полученного .

Тогда

 

3). Найти интеграл

.

Применим подстановку , следовательно .

Тогда данный интеграл примет вид

.

4). Найти интеграл

.

Подстановка приводит данный интеграл к табличному виду, причем , значит .

Запишем интеграл, используя подстановку

Методом подстановки найти следующие интегралы:

 

4.21		4.31
4.22		4.32
4.23		4.33
4.24		4.34
4.25		4.35
4.26		4.36
4.27		4.37
4.28		4.38
4.29		4.39
4.30		4.40