 |
|
Математический маятник
Математическим маятником обычно называют тело малых размеров (материальную точку), подвешенное к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Рассмотрим движение плоского математического маятника по дуге 
радиуса l с центром в точке О (рис. 12). Определим положение точки М углом отклонения 
радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную из точки М в сторону положительного отсчёта угла 
, уравнение движения материальной точки из второго закона Ньютона будет иметь вид:
 ,
| (1) |
где 
– сила тяжести, действующая на точку М, 
– натяжение нити.
Уравнение (1) является основным законом динамики движения и в проекции на ось τ представляет движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
,
|
| Рис. 12. Математический маятник |
где 
– проекция силы тяжести по касательной. Получаем
.
Поскольку
или 
то, сокращая на m и, полагая 
, уравнение движения материальной точки M будет иметь вид:
,
Для малых углов отклонения маятника, при которых 
, оно сводится к уравнению гармонических колебаний
 .
| (1) |
Решение данного уравнения может быть записано в виде
 ,
| (2) |
где А – амплитуда, δ – начальная фаза колебания.
Таким образом, при малых амплитудах математический маятник совершает гармонические колебания с частотой 
и периодом 
.
Если определить период колебания математического маятника 
при длине 
, а затем удлинить нить и снова определить период колебания 
при длине 
, то
, 
.
Из разности двух последних выражений
,
получим
 ,
| (3) |
Формула (3) позволяет определить ускорение силы тяжести при помощи математического маятника.
Физический маятник
Физическим маятником называют твердое тело, способное совершать колебания вокруг некоторой оси, не проходящей через его центр масс. В положении равновесия центр масс маятника (точка С) находится с точкой подвеса маятника О на одной вертикали (рис. 13).
Колебания физического маятника, так же как и математического происходят под действием силы тяжести. При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращающий момент силы тяжести 
относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, равный
 ,
|
где 
– радиус вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы тяжести, т.е. до центра масс тела (точка С).
|
| Рис. 13. Физический маятник |
Модуль момента силы тяжести равен
, (4)
где l – расстояние от точки подвеса до точки приложения силы тяжести, т.е. до центра масс тела.
Из уравнения динамики вращательного движения тела следует, что момент силы тяжести равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение, т.е.
, (5)
где I – момент инерции тела относительно оси вращения, e – угловое ускорение. Знак минус означает, что направление вектора момента силы тяжести противоположно направлению вектора углового ускорения.
Учитывая, что 
, уравнение (5) с учетом (4) можно записать в виде
 .
|
Это уравнение приводится к следующему виду:
 .
|
Введем обозначение 
. При малых углах отклонения можно считать, что . Тогда дифференциальное уравнение колебания физического маятника (6) запишется как
.
Решение этого уравнения имеет вид
,
где – максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия называемой амплитудой гармонических колебаний, 
– начальная фаза колебаний; 
– циклическая частота.
Поскольку 
, то период колебания физического маятника равен
.
Для математического маятника, момент инерции которого равен
,
выражение для периода колебаний будет следующим
.
Из сопоставления последних двух формул получается, что математический маятник с длиной
| (6) |
будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Эту величину называют приведенной длиной физического маятника.
Точку на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащую на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называют центром качания физического маятника (точка 
на рис. 13). При переносе точки подвеса в центр качания период колебания маятника будет прежним. Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания, и период колебаний физического маятника не изменится.
Обозначим момент инерции физического маятника относительно оси проходящий через центр масс за 
. Тогда, используя теорему Штейнера, получим
 .
| (7) |
Подставив в уравнение (6) момент инерции, определяемый выражением (7) получим следующее выражение:
 .
| (8) |
Из уравнения (8) видно, что приведенная длина всегда больше l, так что точка подвеса O и центр качания лежат по разные стороны от центра масс C. Зная период колебания T, массу маятника m и приведенную длину, можно рассчитать момент инерции I физического маятника
| (9) |
или
 ,
| (10) |
где l – расстояние от точки подвеса до центра масс.