 |
|
Доказательство признака Д Аламбера
Так как 
, то определению предела: 
Где неравенство можно расписать 
(*)
Пусть 
. Можно подобрать 
так, что число 
. Обозначим 
. Тогда из правой части неравенства (*), получаем 
, или 
. В силу свойства6числовых рядов можно считать, что 
давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:
т.е. члены ряда u2+u3+u4+…+un+… меньше соответствующих членов ряда qu1+q2u1+ q3u1+…+ qn+1u1+…, который сходится как рад геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения сходится ряд +u3+u4+…+un+…, следовательно, сходится и исходный ряд (1).
Пусть 
. В этом случае 
. Отсюда следует, что начиная с некоторого номера A, выполняется неравенство 
, или 
, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому 
. На основании следствия из необходимого признака ряд (1) расходится.
III Признак Коши
Пусть для данного ряда u1 +u2+u3+ … +un+ … существует предел
, тогда 
Пример 1. 
К: 
- сх.
Пример 2.
К: 
>1 - расх.
Пример 3.В случае 
ряды могут быть сходящимися или расходящимися.
Покажем, например, что в третьем примере для Д’Аламбера и для признака Коши
К: 
; 
; 
(Считаем,что n действительное положительное)
Получаем: 
; 
; 
Интегральный признак сходимости
Напомним понятие несобственного интеграла первого рода.
Обычный определенный интеграл рассматривается на конечном промежутке [a,b]:
Далее рассматривается интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция f определена на [a, ∞[ и интегрируема в любой конечной части этого промежутка [a , A] . То есть 
имеет смысл 
A > a.
ОпределениеЕсли существует конечный предел при А 
, то он называется несобственным интегралом первого рода
Признак сходимости ряда
Пусть f на промежутке [a, ∞) , где а-натуральное,
положительна, не возрастает, непрерывна.
Числовой ряд f(а)+ f(а+1)+…+ f(а+n)+…
сходится или расходится в зависимости от того ,
сходится или расходится несобственный интеграл 